Урок 1 Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии (стр. 45 )

См.: Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992.

Задача 1. Чему  равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?

Решение

1. Под основанием сектора в задаче понимается основание соответствующего сектору сегмента. Пусть R – радиус шара, r – радиус основания сегмента.

2. Наша задача сводится к отысканию высоты этого сегмента: H = PO1. OP – радиус шара, перпендикулярный основанию сегмента.

3. Из прямоугольного треугольника OO1M (MO1O = 90°) найдем:

OO1 == 45, поэтому H = PO1 =
= OP – OO1 = R – OO1 = 75 – 45 = 30.

 

а)  б) 

4. Объем шарового сектора.

V =рR2H =р 752 ∙  30 = 112 500р см3.

5. Примечание. Поставленная задача имеет два решения:

1) Шаровой сектор, который мы рассматривали, называется выпуклым, и его высота равна R – OO, называется невыпуклым. Найдем его объем.

6. Рассмотрим второй случай, где высота сектора H = R – OO1 = 120, так  что  полученный  объем  будет  в  4  раза  больше, чем вычисленный: V = р 45 ∙  104 см3.

7. Таким  образом,  искомый  объем  равен  либо  112 500р см3,  либо 450 000р см3.

Задача 2. В шаре радиуса R выделен шаровой сектор с углом б в осевом сечении. Найдите его объем.

Решение

1. Объем сектора V =рR2H.

2. Так как R – известная величина, то остается нам найти H = AO1.

3. Из  условия  C1OC = б,  значит,  AOC =  и  соответственно
AC =, тогда ACO1 =ABC =.

4. Из прямоугольного треугольника AO1C получаем AO1 = AC sin.

5. Из прямоугольного треугольника ABC находим AC = AB sin, или AC = 2R sin, следовательно, H = 2R sin2.

6. Таким образом, .

Задача 3. В полусфере радиуса R через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию полушара. Найдите объем полученного шарового пояса.

Решение

1. A1O1B1 || AOB, AO = OC = R, OO1 = O1C =.

2. Объем шарового слоя найдем из равенства V = Vполушара – Vсегм.

3. Vполушара =.

4. У сегмента H =, Vсегм = рH2.

5. Следовательно, V =рR3 –.

Задача 4. Круговой сектор радиуса R с дугой 120° вращается около прямой, проходящей через центр и составляющей с сектором угол 30°. Найдите объем тела вращения.

Решение

1. Дано: AO = R, AB = 120°, BOD = 30°.

2. AB = 120°,  AOB = 120°,  тогда  AOO1 = 180° – (120° + 30°) =
= 30°. Следовательно, объемы двух полученных секторов будут равны. Тогда

Vт. в. = Vшара – 2Vсект.

3. Из прямоугольного треугольника OO2B найдем:

OO2 = R cos 30° =.

4. Vт. в. ==
=,  Vт. в. =.

Задача 5. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела (рис.).

Решение

1. По условию BOA = 30°, значит, BOC = 60°, OB = OC = R, поэтому треугольник BOC правильный, причем его сторона BC отсекает от радиуса OA отрезок DA, равный высоте H соответствующего шаровому сектору сегмента.

2. H = AD = AO – OD = R – R= R.

3. Объем сектора .

Задача 6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара?

Решение

1. Радиус шара = 6.

2. Высота меньшего сегмента H = 3, объем его

V1 = рH2= 45р см3.

3. Объем всего шара V3 = рR3 = 288р см3.

4. Объем второго сегмента V1 = V3 – V1 = 288р – 45р = 243р см3.

Задача 7. Из деревянного равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?

Решение

1. Из условия вытекает, что высота цилиндра H = 2R, подставим значение H в формулу объема цилиндра: V4 = рR2H = 2рR3.

2. Объем шара Vш =рR3.

3. Найдем, сколько сточено материала: V4 – Vш = 2рR3 – рR3.

4. Найдем, сколько процентов составляет сточенный материал: .

Домашнее задание: теория (п. 82–83), №№ 000, 711, 717.

Урок 18
ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ

Цель: сформулировать навык нахождения объема шара и его частей.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Устная работа.

	1. Дано: MABCD – четырехугольная пирамида, ABCD – ромб, MO (ABC), BAD = = 60°, OK DC, MKO = 60°, Sш = 64р, O1 – центр вписанного шара. Найдите VMABCD.
	2. Дано: MABCD – четырехугольная пирамида, ABCD – трапеция, AB = CD, Vш = р, MO (ABC), O1 – центр вписанного круга, OK AD, MKO = 60°, O1 – центр вписанного шара, BAD = 30°. Найдите VMABCD.
	3. Дано: SABCD – правильная четырех-угольная  пирамида,  O1 – центр вписанного шара,  K – точка  касания  вписанного  шара, tg1 =, Vпир = 48. Найдите Vш.

III. Решение задач.