Учебно-методический комплекс дисциплины «Молекулярная физика» (стр. 19 )

или

.                                                (3.33)

Отсюда следует:

.                                                        (3.34)

Интегрирование этого уравнения позволяет получить формулу:

.                                                        (3.35)

которая называется уравнением Пуассона в честь французского механика, математика и физика Симеона Дени Пуассона (1781 - 1840). Это уравнение адиабатического процесса для идеального газа, или адиабаты - кривой, описываемой этим уравнением в переменных P и V.

С помощью уравнения Клапейрона-Менделеева уравнение (3.37) можно переписать, используя другие параметры состояния идеального газа:

,                                                        (3.36)

                                                       (3.37)

Сравнивая уравнение Пуассона (3.35) с уравнением Бойля-Мариотта: , можно убедиться, что адиабата (1) идеального газа, построенная в координатах  P и V, всегда идёт круче изотермы (2).

Рис.3.6

Это связано с тем, что, показатель адиабаты для газов всегда больше единицы и принимает наибольшее значение для одноатомных газов. Поэтому самую крутую адиабату имеют инертные газы, молекулы которых состоят из одного атома.

Поскольку адиабата пересекает все изотермы данной термодинамической системы, возможен адиабатический переход с одной изотермы на другую, путём сжатия или разрежения газа. А посредством изотермического изменения объёма возможен переход с одной адиабаты на другую.

Работу идеального газа в адиабатическом процессе можно определить с помощью выражения (3.24) Интегрирование этого выражения дает:

                                               (3.38)

где: T1 и  T2- температуры газа в начале и в конце процесса соответственно. В данном случае работа при переходе из одного состояния системы в другое определяется только функцией состояния системы , так как путь перехода однозначно задан уравнением Пуассона.

Молярная теплоемкость газа CV может быть выражена через показатель адиабаты . Подстановка в формулу (3.30) соотношения Майера для теплоемкостей приводит её к виду:

,                                                        (3.39)

из которого следует искомое выражение:

.                                                                (3.40)

С учетом этой формулы выражение (3.38) может быть представлено в форме:

.                                                (3.41)

На основании уравнения адиабаты (3.36) запишем соотношение между температурами и объемами газа в начальном и конечном состояниях:

                                                       (3.42)

или

                                                       (3.43)

Подстановка этой формулы в выражение (3.41) дает:

                                       (3.44)

или с учетом уравнения Клапейрона-Менделеева:

                                       (3.45)

Формула (3.45) может быть получена и непосредственно интегрированием при подстановке в него уравнения Пуассона (3.35), записанного для произвольной точки адиабаты:

                                                       (3.46)

Тогда имеем

       (3.47)

Адиабатический процесс может быть реализован в газе либо путём его термоизоляции, либо за счёт быстрого протекания процесса, когда процесс теплопередачи не успевает произойти. Первый способ применялся в опытах Джоуля, описанных выше, где было принципиально необходимо достижение газом состояния, близкого к равновесному.  Поэтому каждый из опытов требовал продолжительного времени (около часа) и возникала необходимость введения поправок на тепловые потери.

Примером быстропротекающего процесса является распространение звука в воздухе. Несмотря на то, что такой процесс нельзя считать равновесным, опыт

показывает, что для его описания возможно применение уравнения Пуассона, полученного в рамках равновесной термодинамики.

В 1816 году, за семь лет до вывода Пуассоном уравнения адиабатического процесса, Пьером Симоном Лапласом (1749 - 1827) была получена формула для скорости распространения звука в газе:

,                                        

где: P и - давление и плотность газа. Измерения значений v, P и   позволяют по этой формуле рассчитать значение показателя адиабаты . Для воздуха это значение близко к 1,4, что указывает на возможность с хорошей точностью считать его состоящим из двухатомных молекул.

Экспериментальное определение молярных теплоёмкостей CV и CP для реальных газов представляет собой довольно сложную задачу. Большой вклад в её решение внёс (1810 - 1878), под руководством которого были измерены молярные теплоёмкости многих веществ, в том числе газов. Исследования проводились в лаборатории при Сервской фарфоровой мануфактуре и носили прикладной характер, связанный с совершенствованием тепловых машин. Некоторыми из методик, разработанных Ренье, впоследствии воспользовался Джоуль при проведении своих опытов.

Важным классом термодинамических процессов являются процессы, происходящие при постоянной теплоемкости, то есть политропические процессы. К таким процессам, в частности, относятся адиабатический, изотермический, изобарический и изохорический процессы.

Для идеального газа нетрудно получить уравнение политропического процесса тем же способом, которым ранее было выведено уравнение Пуассона.

Пусть молярная теплоёмкость идеального газа в политропическом процессе равна С. Тогда в соответствии с первым началом термодинамики имеем выражение:

,                                        (3.48)

из которого следует:

                                               (3.49)