Учебно-методический комплекс дисциплины «Молекулярная физика» (стр. 7 )

,                                (2.3)

где: - искомая функция распределения молекул газа по скоростям, - элементарный объем в пространстве скоростей. В пространстве скоростей координаты молекулы задаются значениями проекций её скорости ,  и , которые откладываются по соответствующим осям прямоугольной системы координат. Соответственно вероятность обратного процесса определяется вероятностью того, что в начале этого процесса скорости молекул имели значения и :

.                                 (2.4)

В соответствии с принципом детального равновесия вероятность прямого и обратного процессов должна быть одинакова:

                                               (2.5)

или

.                 (2.6)

Рассмотрим более подробно процесс соударения двух шаров, который для упрощения рисунка схематически изображен на рис. 2.1в двумерной системе координат. Для определенности будем считать, что ось направлена по линии, соединяющей центры шаров в момент удара.

Рис. 2.1

При абсолютно упругом соударении двух одинаковых шаров они обмениваются значениями проекций их скоростей на ось, параллельную линии, соединяющей их центры (в данном случае на ось ), и сохраняют значения проекций скоростей на другие оси и :

,                                        (2.7)

.                                        (2.8)

Отсюда следует, что и дифференциалы от соответствующих проекций скоростей должны преобразовываться по аналогичным формулам:

,                                (2.9)

.                         (2.10)

Перемножение всех этих выражений дает

  (2.11)

или

.                                                (2.12)

С учетом этой формулы выражение (2.6) принимает вид:

.                 (2.13)

Полученное соотношение (2.13) является исходным для построения функции распределения по скоростям для газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия. Причем, указанное соотношение справедливо не только для рассмотренного модельного случая молекул в виде упругих шаров, но и для молекул произвольной формы. Это связано с тем, что оно может быть доказано на основе обратимости во времени законов механики.

При проведении дальнейших преобразований учтем свойство симметрии функции распределения по отношению к изменению направления скорости молекулы  на противоположное:

,                  (2.14)

которое связано с равноправностью положительных и отрицательных направлений осей в пространстве. Отсюда следует, что функция f(v) должна зависеть только от величины скорости молекулы и не зависеть от направления вектора её скорости. По этой причине далее в выражениях для функции распределения будем опускать значок вектора над скоростью молекулы.

Прологарифмируем выражение (2.13)

                       (2.15)

и сравним полученное выражение с формулой, являющейся следствием закона сохранения кинетической энергии (2.2):

.                                                (2.16)

Сопоставление выражений (2.15) и (2.16) с учетом требования симметрии функции распределения (2.14) приводит к однозначному виду для искомой функции распределения:

                                                       (2.17)

или

,                                                (2.18)

где постоянные и должны определяться из дополнительных физических соображений.

В заключении необходимо отметить, что принцип детального равновесия позволяет не только определять вид равновесных функций распределения для газов, описываемых классической механикой, но и применим для описания квантовомеханических систем, в частности, электронного газа.

Функция распределения

В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает функция распределения, которая определяет статистические характеристики рассматриваемой системы. Знание её изменения с течением времени позволяет описывать поведение системы со временем. Функция распределения дает возможность рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы.

Для введения понятия функции распределения сначала рассмотрим какую-либо макроскопическую систему, состояние которой описывается некоторым параметром x, принимающим  K дискретных значений: . Пусть при проведении над системой N измерений были получены следующие результаты: значение наблюдалось при N1 измерениях, значение x2  наблюдалось соответственно при N2 измерениях и т. д. При этом, очевидно, что общее число измерений N равняется сумме всех измерений Ni, в которых были получены значения xi: 

Увеличение числа проведенных экспериментов до бесконечности приводит к стремлению отношения    к пределу:

                                                       (2.19)