Учебно-методический комплекс дисциплины «Молекулярная физика» (стр. 8 )

Величина    называется вероятностью измерения значения xi.

Вероятность   представляет собой величину, которая может принимать значения в интервале Значение   соответствует случаю, когда ни при одном измерении не наблюдается значение xi и, следовательно, система не может иметь состояние, характеризующееся параметром xi. Соответственно вероятность возможна только, если при всех измерениях наблюдалось только значение xi. В этом случае, система находится в детерминированном состоянии с параметром xi.

Сумма вероятностей нахождения системы во всех состояниях с параметрами xi равна единице:

.                                        (2.20)

Условие (2.20) указывает на достаточно очевидный факт, что если набор возможных дискретных значений xi, i=1,2,3,…,K, является полным (то есть включает все возможные значения параметра в соответствии с условиями физической задачи), то при любых измерениях параметра x должны наблюдаться значения этого параметра только из указанного набора xi.

Рассмотренный нами случай, когда параметр, характеризующий систему, принимает набор дискретных значений не является типичным при описании макроскопических термодинамических систем. Действительно, такие параметры как температура, давление, внутренняя энергия и т. д., обычно принимают непрерывный ряд значений. Аналогично и переменные, характеризующие движение микрочастиц (координата и скорость), изменяются для систем, описываемых классической механикой, непрерывным образом.

Поэтому рассмотрим статистическое описание, применимое для случая, когда измеренный параметр x может иметь любые значения в некотором интервале . Причем, указанный интервал может быть и не ограниченным

какими либо конечными значениями и . В частности параметр x в принципе может изменяться от до , как, например, координаты молекулы газа для случая неограниченной среды.

Пусть в результате измерений было установлено, что величина x с вероятностью попадает в интервал значений от x до x +dx. Тогда можно ввести функцию f(x), характеризующую плотность распределения вероятностей:

.                                                        (2.21)

Эта функция в физике обычно называется функцией распределения.

Функция распределения f(x) должна удовлетворять условию: f(x), так как вероятность попадания измеренного значения в интервал от  x до x +dx не может быть отрицательной величиной. Вероятность того, что измеренное значение попадет в интервал   равна:

.                                        (2.22)

Соответственно, вероятность попадания измеренного значения в весь интервал возможных значений равна единице:

.                                                        (2.23)

Выражение (2.23) называется условием нормировки функции распределения.

Функция распределения f(x) позволяет определить среднее значение любой функции :

.                                                (2.24)

В частности по формуле (2.24) может быть найдено среднее значение параметра x:

                                                       (2.25)

Если состояние системы характеризуется двумя параметрами x и y, то вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в интервалах и соответственно равна:

,                (2.26)

где f(x, y)  - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа.

Соответственно для бесконечно малых интервалов dx и dy вероятность dP(x, y) можно представить в виде:

.                                                (2.27)

В случае статистической независимости значений параметров x и y друг от друга двумерная функция распределений f(x, y)  равна произведению функций распределения f(x, y)  и  f(x, y) :

.                                                (2.28)

Это свойство функций распределения будет использовано при рассмотрении распределения Максвелла-Больцмана.

Распределение Максвелла.

Вид функции распределения (2.18), полученный с использованием принципа детального равновесия, может быть установлен и с помощью более формальных рассуждений, не связанных с исследованием особенностей взаимодействия молекул газа между собой. Рассмотренный ниже подход был предложен Максвеллом в 1859 году.

Введем пространство скоростей. Скорость любой молекулы газа можно представить через её проекции на соответствующие оси системы координат в пространстве скоростей. Если указанные значения отложить по осям прямоугольной системы координат, то можно построить пространство скоростей, каждая точка в котором будет соответствовать определенному набору проекций скорости молекулы газа (рис.2.2).

Далее сделаем предположение, что вероятности попадания значений проекций скорости молекулы в соответствующие интервалы , не зависят друг от друга, то есть значения проекций скорости молекул на ортогональные оси считаются статистически независимыми величинами. Тогда по аналогии с формулой (2.28) функцию распределения f(v) можно представить в виде: