Учебно-методический комплекс дисциплины «Молекулярная физика» (стр. 9 )

,                 (2.29)

где , и - функции распределения значений соответствующих проекций скорости , причем вид этих 

  Рис.2.2         функций должен быть одинаковым, так как все оси системы координат в пространстве скоростей равноправны.

Прологарифмируем выражение (2.29):

.                         (2.30)

Подстановка в него формулы, связывающей величину скорости и значения её проекций:

,                                                (2.31)

приводит к единственно возможному выражению для функции распределения:

                                                       (2.32)

или

,                                                (2.33)

что полностью совпадает с формулой (2.18), полученной на основе применения принципа детального равновесия.

Соответственно функция распределения для значений проекций скорости vx приобретает вид:

.                                                (2.34)

Здесь константы и можно определять, исходя из условия нормировки (2.23) и значения среднего квадрата скорости хаотического движения молекул газа.

Введем следующие обозначения:

,                                                (2.35)

с учетом которых функция (2.34) приобретет вид:

.                                                (2.36)

В соответствии с условием нормировки (2.23) можно записать:

.                                                (2.37)

В этой формуле выбраны бесконечные пределы интегрирования. Но, конечно, реальная скорость движения молекулы не может достигать бесконечного значения, так как её величина ограничена, в частности, совершенно невероятным случаем, когда кинетическая энергия одной молекулы приближается к суммарной кинетической энергии всех молекул газа. Тем не менее, вследствие резкого уменьшения подынтегрального выражения при , ошибки, связанные с бесконечным выбором пределов интегрирования, оказываются достаточно малыми.

Для нахождения интеграла (2.37) можно использовать интеграл Пуассона:

,                         (2.38)

применение которого дает:

.                                                                (2.39)

Второе условие, которое может быть использовано для нахождения неизвестных констант, является следствием определения средней кинетической энергии молекул газа через его температуру  для случая одномерного движения:

.                                                (2.40)

Использование правила нахождения среднего значения  дает:

,                        (2.41)

или с учетом формулы (2.39):

.                                        (2.42)

Интеграл в выражении (2.42) может быть проинтегрирован по частям с использованием интеграла Пуассона:

                 (2.43)

Подстановка получившегося выражения в (2.42) дает:

,                                                        (2.44)

или

.                                                                (2.45)

Соответственно коэффициент a принимает вид:

.                                                        (2.46)

Таким образом, функция распределения значений проекции скорости vx приобретает форму:

,                                (2.47)

а функция распределения молекул газа по скоростям соответственно вид:

                                       (2.48)

или

.        (2.49)

Функции (2.47) и (2.48) (или (2.49)) называются функциями распределения Максвелла. Качественно вид функции (2.47), изображенной на рис. 2.3, совпадает с нормальным законом распределения Гаусса, описывающим распределение ошибок измерений случайной величины.

Рис.2.3

Кроме полученного выше распределения Максвелла f(v) часто при проведении расчетов используется распределение по абсолютным значениям скоростей молекул газа. Для получения этого распределения запишем в общем виде вероятность того, что значения проекций скорости лежат внутри элементарного объема пространства скоростей : 

                               .                                                        (2.50)

Учитывая то, что эта вероятность зависит только от величины скорости и не зависит от её направления в пространстве, элементарный объем можно считать имеющим форму шарового слоя со средним радиусом v и толщиной  dv. Указанная возможность связана с тем, что в любой точке на поверхности сферы, центр которой совпадает с началом координат пространства скоростей, значения скорости v, а следовательно и функции f(v), одинаковые. Считая шаровой слой тонким, и записывая его элементарный объем в виде: , выражение (2.50) может быть представлено в форме: