Учебно-методический комплекс дисциплины «Молекулярная физика» (стр. 28 )

При небольшой разнице в температуре слоев газа можно считать, что произведение числа n молекул в единице объема газа на среднюю скорость молекул для обоих слоев приблизительно одинаково. Тогда, как и при вычислении вязкости газа, число молекул, пролетающих в одном направлении через площадку S в единицу времени, равно

.

Таким образом, количество средней кинетической энергии хаотического движения молекул, переносимое через площадку  S за время dt, т. е. переносимое тепло равно

                               (5.10)

Уравнение (5.10) представляет собой закон Фурье.

Сравнивая полученное выражение с эмпирической формулой, нетрудно найти, что теплопрoводность равна:                           (5.11)

Это выражение можно преобразовать, введя удельную теплоемкость сV. Поскольку () есть, очевидно, средняя энергия молекул в единице объема газа, то количество теплоты, необходимое для нагревания единицы объема газа на один градус при постоянном объеме, равно (). Так как масса единицы объема газа равна его плотности?, то удельная теплоемкость газа

,

откуда

Подставив это выражение в формулу (9), получим

                                                       (5.12)

В векторной форме уравнение закона Фурье может быть записано следующим образом:

,                                                        (5.13)

УМКД 042-18-38.1.11/01-2013

Редакция № 1 от «11сентября»2013 г.

Страница 89 из 155

где - вектор плотности теплового потока. Модуль этого вектора равен .  Знак «-»  показывает, что теплота переносится в направлении убывания температуры.

Теплопроводность ?  не зависит от давления газа по той же самой причине, по которой не зависит от давления вязкость ?. Кроме того, ее зависимость от температуры такая же, как и у ?, т. е. ? возрастает с температурой несколько быстрее, чем .

диффузия.

Когда в смеси газов концентрация какого-либо газа распределена неравномерно, то возникает перенос этого газа в места с меньшей концентрацией (диффузия).

Если в сосуде находится только один газ, плотность которого в занимаемом им объеме неодинакова, то происходит диффузия молекул газа в среде того же самого газа, т. е. самодиффузия.

Предположим, что плотность газа изменяется только в направлении

оси z (рис.3).

Рис. 5.3

Экспериментально установлено, что в этом случае диффузия газа

определяется формулой

                                                       (5.14)

где dМ — масса газа, переносимого за время dt через площадку S, расположенную перпендикулярно оси z; — градиент плотности газа; D -  коэффициент диффузии. Он зависит не только от природы диффундирующего газа и условий, при которых находится, но и от природы среды и условий, при которых находится эта среда.

Рассмотрим наиболее простой случай диффузии — самодиффузию газа и вычислим коэффициент диффузии, основываясь на кинетической теории газа. Обозначим через n1, n и n2 — среднее число молекул, содержащихся в единице объема газа соответственно в сечениях и .

Очевидно,

УМКД 042-18-38.1.11/01-2013

Редакция № 1 от «11сентября»2013 г.

Страница 91 из 155

, a

Как и в предыдущих случаях, можно считать, что в единицу времени

через площадку S снизу вверх пролетает  молекул и обратно молекул. Из верхнего слоя вниз через площадку пролетает молекул и обратно молекул.

Разность этих величин дает число dN молекул, пролетающих через эту площадку в единицу времени в направлении от слоя к слою :

Умножая dN на массу m одной молекулы и на время dt, найдем

массу dM газа, переносимого за время dt через площадку S:

Так как                         , а , то

                                         (5.15)

Уравнение (5.15) представляет собой закон Фика.

Сравнивая полученное выражение с. эмпирической формулой нетрудно найти, что коэффициент диффузии должен быть равен

В векторной форме уравнение закона Фика может быть записано следующим образом:

,                                                        (5.16)

где - вектор плотности массы. Модуль этого вектора равен .  Знак минус показывает, что теплота переносится в направлении убывания плотности.

При постоянной температуре, но изменяющемся давлении газа средняя скорость теплового движения молекул остается постоянной, а средняя длина свободного пробега изменяется обратно пропорционально давлению р. Поэтому при постоянной температуре коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению Р, т. е. D ~ 1/?/ Зависимость от температуры у коэффициента диффузии та же, что у теплопроводности ?:

~/

УМКД 042-18-38.1.11/01-2013

Редакция № 1 от «11сентября»2013 г.

Страница 92 из 155

Таблица 1.

Явление	Переносимая величина	Уравнение переноса	Формула для коэффициента переноса
Диффузия	Масса
Вязкость	Импульс
Теплопроводность	Энергия в форме тепла

Сравнивая выражения для коэффициентов переноса, получим следующие соотношения между ними: