Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 14 )

                 (3.15)

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения . Умножим каждое уравнение системы (3.15) на соответствующее перемещение:

Учитывая, что , получим:

Складывая эти уравнения, получим:

  (3.16)

Первый член левой части (3.16) представляет собой приращение кинетической энергии системы:

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dEк.

Правая часть уравнения (3.16) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем:

                                                          (3.17)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т. е изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (3.17) следует, что   откуда  const, что и требовалось доказать.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие виды энергии, называются диссипативными (диссипация – рассеяние энергии).

Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными и в них закон сохранения механической энергии нарушается. Однако при изменении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом состоит физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т. е. Еп = f(х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой, анализ которой позволяет определить характер движения тела.

В общем случае потенциальная кривая может иметь достаточно сложный вид, например, с несколькими максимумами и минимумами (рис. 3.9). Проанализируем эту потенциальную кривую в предположении, что система консервативна и в ней выполняется закон сохранения энергии в форме (3.14). Если W - заданная полная энергия тела, то тело может находиться только там, где Еп(х) ≤W, т. е. в областях I и III. Переходить из области I в область III и обратно тело не может, так как ему препятствует потенциальный барьер CDG, ширина которого равна интервалу значений х, при которых Еп >W, а его высота определяется разностью Епmax-W. Для того чтобы тело смогло преодолеть потенциальный барьер, ему необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I тело с полной энергией W оказывается «запертым» в потенциальной яме ABC и совершает колебания между точками с координатами хА и хС.

В точке В с координатой хО потенциальная энергия тела минимальна. Так как  действующая на тело сила , а условие минимума потенциальной энергии , то в точке В Fx=0. При смещении тела из положения хО в результате малых возмущений в системе оно испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение хО является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки х* (для Епmax). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при малых возмущениях в системе появляется сила, стремящаяся удалить тело от этого положения. Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия замкнутой консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, а в состоянии неустойчивого равновесия – максимальное значение.

Рассмотрим применение закона сохранения полной механической энергии  к расчету абсолютно упругого прямого центрального удара двух шаров. Абсолютно упругим называется такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии.

Пусть два абсолютно упругих шара массами m1 и m2 до удара движутся поступательно со скоростями и , направленными в одну сторону вдоль линии их центров, причем (рис. 3.7, а). Требуется найти скорости шаров и после их соударения (рис. 3.7, б).

По закону сохранения энергии в механике имеем:

         (3.18)

Шары движутся в горизонтальной плоскости, поэтому их потенциальная энергия в поле тяготения Земли при ударе не изменяется, т. е.

Тогда из уравнения (3.18) получаем:

                                 (3.19)

С другой стороны, по закону сохранения импульса:

                                 (3.20)

При центральном ударе векторы скоростей , , и направлены вдоль одной прямой.  Поэтому в уравнении (3.20) можно перейти от векторов к их модулям:

                  (3.21)

Решая совместно уравнения (3.19) и (3.20), получим:

                  (3.22)

Анализ уравнений (3.22) позволяет сделать следующие выводы:

1) Если массы шаров одинаковы (m1=m2=m), то и , т. е. при ударе шары обмениваются скоростями;

2) если масса второго шара m2>>m1, то

Если при этом второй шар был до удара неподвижен (), то , т. е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью .

Как отмечалось, система тел называется диссипативной, если ее механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. В качестве примера рассмотрим диссипацию энергии при абсолютно неупругом прямом центральном ударе двух поступательно движущихся шаров (удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела движутся как одно целое, т. е. с одной и той же скоростью).

Общая скорость обоих шаров после удара по закону сохранения импульса равна:

                        (3.23)

Если шары движутся в горизонтальной плоскости, то их потенциальная энергия Еn остается неизменной. Полная механическая энергия системы до удара: