Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 35 )

Сложение гармонических колебаний

Колеблющийся параметр может одновременно участвовать в нескольких колебательных процессах, поэтому возникает задача нахождения результирующего колебания.

1. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

применяя метод вращающегося вектора амплитуды. Для этого построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 6.6).

Так как векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью , то разность фаз между ними остается постоянной. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

где амплитуда и начальная фаза определяются из векторной диаграммы соответственно как

Таким образом, тело (параметр), участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой. При этом амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний:

если  (m=0, 1, 2, …),

то и то есть амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний (колебания синфазны);

если (m=0, 1, 2, …), то и

то есть амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний (колебания происходят в противофазе).

На практике представляет интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний , а их частоты равны и , причем

Примем, что начальные фазы этих колебаний равны нулю. Тогда:

Складывая эти выражения, найдем:

где

                                                       

Таким образом,

  (7.9)

Выражение (7.9) есть произведение двух колебаний. Так как , то сомножитель в скобках практически не изменяется, когда другой сомножитель совершит несколько полных колебаний. Поэтому результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с циклической частотой , амплитуда которого изменяется в пределах от до с циклической частотой , называемой циклической частотой биений. Период и частота биений определяются следующим образом:

Характер зависимости при биениях в случае равенства амплитуд складываемых колебаний приведен на рис. 7.3.

2. Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю:

                  (7.10)

где А, В – амплитуды складываемых колебаний; - разность фаз колебаний.

Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из системы (7.10) параметра t; в результате получим:

          (7.11)

Уравнение (7.11) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называют эллиптически поляризованными.

Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз :

1) если   , то эллипс вырождается в отрезок прямой

                  (7.12)

где знак «+» соответствует нулю и четным значениям m (рис.7.3,а), а знак «-» – нечетным значениям m (рис.7.3,б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой и амплитудой , которое совершается вдоль прямой (7.12), составляющей с осью х угол . В данном случае колебания называют линейно поляризованными;

2) если   , то уравнение траектории результирующего колебания примет вид

                  (7.13)

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.7.5). Кроме того, если , то эллипс (7.13) вырождается в окружность. Такие колебания называют циркулярно поляризованными.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего колебания имеет сложный вид. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу (фр. физик, XIX в.). Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

2.13 Уравнения движения колебательных систем

План лекции

Движение под действием упругих и квазиупругих сил. Уравнения движения простейших колебательных систем. Математический и физический маятники. Кинетическая, потенциальная и полная энергия колеблющегося тела.

Колебания называют свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной системе энергии без последующих внешних воздействий.

Затухающие колебания – колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается из-за диссипации энергии в реальной колебательной системе. В механических колебательных системах потери энергии обусловлены трением, сопротивлением среды, в электрических системах – омическими потерями и излучением электромагнитных волн.

Будем рассматривать линейные колебательные системы – некоторые идеализированные системы, в которых основные параметры в процессе колебаний не изменяются. Примерами линейных систем являются: а) пружинный маятник при малых деформациях пружины (в пределах, когда выполняется закон Гука);  б) колебательный контур, индуктивность, емкость и омическое сопротивление которого не зависят от силы тока и величины напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет следующий вид: