Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 51 )

Примеры решения задач

5.1 Неинерциальные системы отсчета, движущиеся прямолинейно. Силы инерции.

Задача 5.1

Определим силу F, стремящуюся растянуть, а потом и разорвать круговой обруч радиуса R массы M, равномерно вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью w.

       Рассмотрение проведем в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе с обручем с угловой скоростью w, в которой обруч покоится. В этой системе любая малая часть обруча тоже покоится. Рассмотрим бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом da. Кроме реальных физических сил, действующих на этот элемент обруча (к которым относятся силы F, действующие со стороны примыкающих к обоим концам элемента остальных частей обруча и стремящиеся растянуть этот элемент обруча),

Надо рассмотреть теперь также и центробежную силу инерции Fцб., действующую на элемент обруча. При этом согласно определению величины центробежной силы, на бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом da, действует сила:

,

где k - масса в расчете на единицу длины обруча, или линейная плотность массы, т. е. k=M/2pR.

       Сумма трех векторов сил, действующих на рассматриваемый бесконечно малый элемент, должна равняться нулю, так как этот элемент обруча в рассматриваемой неинерциальной системе отсчета покоится. Другими словами,

                                       

или

                                       

и окончательно получаем:

                                       

Задача 5.2

       Найти угол наклона к горизонтали свободной поверхности жидкости, налитой в сосуд прямоугольной формы, скатывающийся с наклонной плоскости, имеющей угол наклона к горизонту .

Решение

       Рассмотрение удобно вести в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с сосудом с жидкостью, в которой жидкость покоится. Эта неинерциальная система равномерно ускоренно движется вниз вдоль наклонной плоскости с ускорением a=g sin .

       Таким образом, на каждую малую жидкую частицу массы m в этой инерциальной системе действует не только сила тяжести F=mg, направленная вертикально вниз, но и сила инерции Fин.=ma, направленная в противоположную сторону движения, т. е. вверх вдоль наклонной плоскости.

       Жидкость в прямоугольном сосуде как бы находится в однородном поле новых сил тяжести, имеющих ускорение g’, которое составляет некоторый угол с вертикалью. Следовательно, свободная поверхность жидкости в скатывающемся сосуде, перпендикулярная направлению нового ускорения g’, будет составлять такой же угол с горизонтальной плоскостью. Найдем угол . Имеем косоугольный треугольник:

                                       

Применим к нему теорему синусов:

                               ,

                               ,

       

                               tg =tg

       Следовательно, искомый угол равен углу , т. е. свободная по верхность жидкости в скатывающемся по наклонной плоскости сосуде будет параллельна наклонной плоскости.

5.2 Равномерно  вращающиеся неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Сила Кориолиса.

Задача 5.3

При килевой качке корабля (с носа на корму и обратно) ротор быстроходной турбины участвует в двух движениях: во вращении вокруг своей оси с угловой скоростью и в повороте вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной валу турбины, с угловой скоростью . При этом вал турбины будет давить на подшипники с силами , лежащими в горизонтальной плоскости. При качке эти силы, как и гироскопический

момент, периодически меняют свое направление на противоположное и могут вызвать "рыскание" корабля, если он не слишком велик (например, буксира).

Допустим, что масса турбины m=3000ru ее радиус инерции Rин=0,5м, скорость вращения турбины n=3000об/мин, максимальная угловая скорость корпуса судна при килевой качке  асстояние между подшипниками Максимальное значение гироскопической силы, действующей на каждый из подшипников, составляет

                               

После подстановки числовых данных получим то есть около 1 тонны.

Задача 5.4

Гироскопические силы могут вызвать так называемые колебания "шимми" колес автомобиля. Колесу, вращающемуся вокруг оси AA' с угловой скоростью , в момент наезда на препятствие сообщается дополнительная скорость вынужденного поворота вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. При этом возникает момент гироскопических сил, и колесо начнет поворачиваться вокруг оси BB'. Приобретая угловую скорость поворота вокруг оси BB', колесо

снова начнет поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка, деформируя упругие элементы подвески и вызывая силы, стремящиеся вернуть колесо в прежнее вертикальное положение. Далее ситуация повторяется. Если в конструкции автомобиля не принять специальных мер, возникшие колебания "шимми" могут привести к срыву покрышки с обода колеса и к поломке деталей его крепления.

Задача 5.5

С гироскопическим эффектом мы сталкиваемся и при езде на велосипеде. Совершая, например, поворот направо, велосипедист инстинктивно смещает центр тяжести своего тела вправо, как бы заваливая велосипед. Возникшее принудительное вращение велосипеда с угловой скоростью приводит к появлению гироскопических сил с моментом На заднем колесе этот момент будет погашен в подшипниках, жестко связанных с рамой. Переднее же колесо, имеющее по отношению к раме свободу вращения в рулевой колонке, под действием гироскопического момента начнет поворачиваться как раз в том направлении, которое было необходимо для правого поворота велосипеда. Опытные велосипедисты совершают подобные повороты, что называется, "без рук".