Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 21 )

численно равны, имеют общую линию действия, но направлены в противоположные стороны (рис. 4.15). Поэтому их моменты и относительно

точки О численно равны и противоположны по направлению (на рис. 4.4 точки mi, mk и О лежат в горизонтальной плоскости, а векторы и перпендикулярны этой плоскости). Действительно, , где - вектор, проведенный из точки mi в точку mk. Поэтому так как векторное произведение векторов и , направленных вдоль одной прямой, равно нулю.

На основании изложенного уравнение (4.14) можно записать в следующем виде:

                                                                 (4.15)

Таким образом, скорость изменения момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.

Полученный результат называется основным законом динамики вращательного движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке. Момент импульса является основной динамической характеристикой твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

Получим выражение для L в случае твердого тела произвольной формы, закрепленного в некоторой точке О.

Пусть - радиус-вектор элементарной массы твердого тела, а - угловая скорость. Тогда

  (4.15)

Векторы и L можно проектировать как на оси лабораторной системы XYZ, так и на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом (поскольку точка О неподвижна, начала обеих систем можно совместить). Преимущество системы xyz заключается в том, что в ней проекции являются постоянными величинами (в системе XYZ они зависят от времени), и выражения для компонент L, оказываются проще.

Итак, в системе xyz

               (4.16)

Тогда, продолжая (4.16), можно записать:

                (4.17)

Выражения для проекций момента импульса на оси системы xyz запишем в следующем виде:

  (4.18)

               (4.19)

               (4.20)

Или                

                                       (4.21)

                                       (4.22)

                                       (4.23)

где - 9 компонент так называемого тензора инерции твердого тела относительно точки О:

                                        (4.24)

Диагональные элементы тензора называются осевыми моментами инерции, недиагональные элементы называются центробежными моментами инерции. Обратим внимание, что Такой тензор называют симметричным.

Если координатам x, y и z присвоить номера 1, 2 и 3 соответственно, то (4.21-4.24) можно представить в виде

                                       (4.25)

В символическом виде можно записать так:

                                                               (4.26)

Самое главное, что стоит за приведенными выше формулами, заключается в следующем. Девять величин (из них шесть независимых) определяют однозначную связь между L и причем оказывается, что L, вообще говоря, не совпадает по направлению с (рис. 2.5)

Рис. 4.15.

Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в физике - тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число (значение скалярной величины), векторной - три числа (три проекции вектора на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем случае 9 чисел. На языке математики тензор - это многокомпонентная величина, характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях системы координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются как произведения соответствующих координат).

Необходимость введения тензорных величин связана с различного рода анизотропией свойств физических макроскопических объектов. Тензор связывает две векторные величины, которые пропорциональны друг другу по модулю, но в силу анизотропии свойств объекта не совпадают друг с другом по направлению. В случае L и решающую роль играет "анизотропия" формы тела (отсутствие определенной симметрии относительно осей xyz). В других случаях это может быть анизотропия, например, электрических или магнитных свойств вещества.

Кинетическая энергия и работа при вращении тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Если мысленно разбить это тело на n точек массами m1, m2, …, mn, находящихся на расстояниях r1, r2, …, rn от оси вращения, то при вращении они будут описывать окружности и двигаться с различными линейными скоростями v1, v2, …, vn. Так как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения точек будет одинакова:

                                       

Кинетическая энергия вращающегося тела есть сумма кинетических энергий его точек, т. е.

Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, получим:

         (4.27)

Сопоставление формулы (4.16) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно со скоростью v, показывает, что момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении.

Если твердое тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается с угловой скоростью щ вокруг оси, проходящей через его центр инерции, то его кинетическая энергия определяется как сумма двух составляющих:

  (4.28)                         

где vc – скорость центра масс тела; Jc  - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.