Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 17 )

т. е. если относительная скорость отбрасываемых частиц равна нулю, то уравнение движения точки переменной массы имеет формально тот же вид, что и для точки постоянной массы, но в этом случае масса M - функция времени t.

Важный вклад в механику тел переменной массы применительно к конкретным задачам реактивной техники внесен знаменитым русским ученым Константином Эдуардовичем Циолковским. В 1903 г. была издана его работа «Исследование мировых пространств реактивными приборами», в которой исследовал ряд случаев прямолинейных движений ракет. обоснована и доказана возможность практического использования реактивного движения. Им найдены условия, при которых можно получить скорости, достаточные для осуществления космического полета. Полученная им формула, связывающая скорость ракеты с ее начальной массой, до сих пор используется для предварительных расчетов. В работах 1911-1914 гг. он изучил вопрос о величине запасов топлива, необходимых для преодоления сил тяготения Земли, и предложил высококалорийное топливо, позволяющее получить большие скорости истечения газовых струй. по праву считают изобретателем жидкостных ракет дальнего действия и основоположником теории межпланетных полетов. Ему принадлежит идея разработки теории так называемых многоступенчатых ракет, когда на некоторых интервалах времени масса ракеты меняется непрерывно, а в некоторые моменты – скачком. Им проведены большие исследования по оценке сил сопротивления при движении тел переменной массы. поставлен целый ряд оригинальных проблем, имеющих решающее значение для развития реактивной техники.

Для того чтобы выяснить основные факторы, создающие возможность реактивного движения с большими скоростями, рассмотрим движение точки переменной массы в безвоздушном пространстве (отсутствует сопротивление движению тела), без действия внешних сил (силы тяготения). Предположим, что скорость истечения частиц направлена прямо противоположно вектору скорости тела . Эти условия соответствуют так называемой первой задаче Циолковского. В результате получаем формулу Циолковского и следствие из нее. Найдем при сделанных предположениях скорость движения тела (точки) и закон ее движения.

При сформулированных условиях уравнение движения приобретает вид:

                                               (3.30)

или

                                                       (3.31)

Положим, , где - функция, определяющая закон изменения массы. Очевидно, так как начальная масса , то функция при должна быть . Подставив в (3.31) значение M и проинтегрировав, получим:

Для определения постоянной С учтем, что при , тогда

и

                               (3.32)

Эта формула носит название формулы Циолковского. Из формулы следует, что скорость, приобретенная точкой переменной массы, зависит от относительной скорости V и отношения начальной массы к остающейся к концу процесса горения. Если масса точки в конце процесса горения , отброшенная масса (масса топлива) – m, то при нулевой начальной скорости () получаем для расчета скорости в конце процесса горения выражение: 

Отношение называют число Циолковского. Для современных ракет можно положить Тогда при числе Циолковского Z=0,250; 9,000; 32,333; 999,000 получим соответственно скорости .

Из формулы Циолковского (1.27) следует, что:

- скорость точки переменной массы в конце активного участка (в конце процесса отбрасывания частиц) тем больше, чем больше скорость отбрасывания частиц;

- скорость в конце активного участка тем больше, чем больше число Циолковского;

- скорость точки переменной массы в конце активного участка не зависит от закона изменения массы (режима горения). Заданному числу Циолковского соответствует определенная скорость точки в конце процесса горения независимо от того, быстро или медленно шло горения. Это следствие является проявлением закона сохранения импульса;

- для получения возможно больших скоростей точки переменной массы в конце активного участка выгоднее идти по пути увеличения относительной скорости отбрасывания частиц, чем по пути увеличения запасов топлива.

2.6 Поступательное и вращательное движение твердого тела

План лекции

Абсолютно твердое тело; поступательное и вращательное движения твердого тела; мгновенные оси вращения; понятие о степенях свободы. Вращение относительно неподвижной оси, момент силы относительно оси. Пара сил, момент пары. Момент инерции и момент импульса твердого тела.

Всякое твердое тело можно рассматривать как систему из n материальных точек и масса m тела есть сумма масс всех этих точек:

Будем считать, что тело абсолютно твердое, т. е. расстояния между любыми двумя его материальными точками не изменяются в процессе движения.

Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг какой-то неподвижной оси используются те же величины (и уравнения связи между ними), что и для описания движения точки по окружности. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси за промежуток времени ∆t углы поворота радиус-векторов различных точек тела одинаковы. Угол поворота ∆ц, средняя щcp и мгновенная щ угловые скорости характеризуют вращательное движение всего абсолютно твердого тела в целом.

Линейная скорость х какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорционально расстоянию R точки от оси вращения:

При равномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы (∆ц = const) и мгновенная угловая скорость тела равна средней угловой скорости (щ = щcp). Тангенциальные ускорения aф у различных точек абсолютно твердого тела отсутствуют (aф = 0), а нормальное (центростремительное ) ускорение an какой-либо точки тела зависит от ее расстояния R до оси вращения:

Вектор an направлен в каждый момент времени по радиусу траектории точки к оси вращения.

При неравномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени неодинаковы. Угловая скорость тела щ с течением времени изменяется.

Средним угловым ускорением еср в промежутке времени ∆t = t2 - t1 называется физическая величина, равная отношению изменения угловой скорости ∆щ = щ2 - щ1 вращающегося тела за промежуток времени ∆t к длительности этого промежутка:

Если угловая скорость за произвольные одинаковые промежутки времени изменяется одинаково ( ∆щ12 = ∆щ34 и т. д.), то еср = const (равнопеременное вращение).

Угловым ускорением (мгновенным угловым ускорением) вращающегося тела в момент времени t называется величина е, равная пределу, к которому стремится среднее угловое ускорение за промежуток времени от t до t + ∆t при бесконечном уменьшении ∆t, или, угловое ускорение - это первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:

Изменение ∆щ угловой скорости абсолютно твердого тела за промежуток времени ∆t = t - t0 при равнопеременном вращательном движении с угловым ускорением е: ∆щ = е·∆t = е(t - t0). Если при t0 = 0 начальная угловая скорость тела равна щ0, то в произвольный момент времени t угловая скорость тела будет щ = щ0 + е·t.

Угол поворота ∆ц тела вокруг оси за промежуток времени ∆t = t - t0 при равнопеременном движении:

Тангенциальная составляющая ускорения: -; х = щ·R,