Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 26 )

Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

  M1 + M2 + ... = 0.

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в ньютон-метрах (Н∙м).

 

Рис. 4.30 

Силы, действующие на рычаг, и их моменты:

  M1 = F1 · d1 > 0; M2 = – F2 · d2 < 0.

При равновесии: 

  M1 + M2 = 0.

  В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов.

Оба эти условия не являются достаточными для покоя.

 

Рис.4.31 

При качении колеса по горизонтальной поверхности равнодействующая сила и момент сил равны нулю. Катящееся по горизонтальной поверхности колесо – пример безразличного равновесия (рис. 4.31). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают устойчивые и неустойчивые состояния равновесия.

  Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.

  При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в безразличном состоянии равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис.4.32).

 

Рис. 4.32 

На рис.4.32 изображены различные типы равновесия шара на опоре. (1) – безразличное равновесие, (2) – неустойчивое равновесие, (3) – устойчивое равновесие.

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис.4.33).

 

Рис. 4.33 

Устойчивое (1) и неустойчивое (2) равновесие однородного круглого диска, закрепленного на оси O; точка C – центр масс диска;    – сила тяжести; – упругая сила оси; d – плечо.

  Особым случаем равновесия является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, то есть внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис.4.34), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.  Рис. 4.34

Вертикальная линия, проведенная через центр масс  башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. На рисунке обозначены: точка C – центр масс, точка O – центр основания башни, CC' – вертикаль, проходящая через центр масс. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м.

Вопросы для самоконтроля и повторения

- Что называется моментом инерции тела? Какова роль момента инерции во вращательном движении?

- Сформулируйте теорему Штейнера. От чего зависит момент инерции тела?

- Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

- Что такое момент импульса твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

- Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Как определяется работа при вращении тела?

- Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

- Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется?

- Сопоставьте основные величины и уравнения динамики поступательного и вращательного движений.

2.8 Движение в неинерциальных системах отсчета

План лекции

Неинерциальные системы отсчета (НИСО);

Силы инерции.

Силы инерции в прямолинейно движущихся НИСО.

Прежде всего, сравним движения относительно двух разных инерциальных систем. Характер движения в разных системах может быть различным. Примем, например, за одну из инерциальных систем Землю, а за другую — вагон поезда, равномерно движущегося по прямому участку пути. Пусть в вагоне на нити подвешено какое-либо тело. При отвесном положении нити тело будет находиться в равновесии: сумма сил, на него действующих (сил притяжения Земли и натяжения нити), будет равна нулю. Перережем нить; тело начнет падать с ускорением g, и его траектория относительно вагона окажется вертикальной прямой, что можно установить, например, фотографируя падение кинокамерой, установленной в самом вагоне. Если же движение тела рассматривать относительно Земли, например, фотографируя его с полотна железной дороги, то траектория тела окажется параболой (рис.5.1). Наоборот, подвешивая тело на Земле и фотографируя его падение после пережигания нити, получим траекторию в виде вертикальной прямой на снимке, сделанном с земной поверхности, и параболу - на снимке, сделанном из вагона. Все это легко объяснить. Различие в движениях относительно разных систем вызвано только  разными  начальными скоростями  тела  Рис.5.1

относительно одной и другой инерциальных систем. 

В первом примере тело первоначально покоилось относительно поезда, а относительно Земли двигалось в горизонтальном направлении со скоростью поезда. Значит, после пережигания нити относительно вагона происходило свободное падение тела без начальной скорости, а относительно Земли – так же свободное падение, но с начальной скоростью. Во втором примере падение без начальной скорости происходило относительно Земли, а с начальной скоростью -  относительно вагона. Однако в обеих системах ускорение тела одно и то же. Первоначально сумма сил, действующих на тело, равна нулю и выполняется закон инерции: тело в каждой системе либо покоится, либо движется с постоянной скоростью прямолинейно, т. е. не имеет ускорения. После пережигания нити на тело действует только сила тяжести и для обеих систем справедлив второй закон Ньютона, по отношению к каждой системе отсчета тело падает с ускорением g, вызванным тяготением Земли.

Аналогичная картина будет наблюдаться и во всех других случаях движений тел относительно разных инерциальных систем отсчета.

Движение относительно инерциальной и неинерциальной систем отсчета.

Иная картина получается при сравнении данного движения относительно какой-либо инерциальной и какой-либо неинерциальной систем отсчета. Силы, действующие на тело со стороны других тел: силы упругости, трения, тяготения и т. д., не зависят от того, по отношению к какой системе отсчета изучается движение тела. Но ускорения тел относительно инерциальной и неинерциальной систем различны. Поэтому по отношению к неинерциальным системам отсчета нельзя будет объяснить данное движение тела силами, действующими на него со стороны каких-то определенных других тел.

Проиллюстрируем это снова на примере подвешенного груза, считая теперь, что вагон, принимаемый за систему отсчета, движется по горизонтальному прямому участку пути ускоренно. Ускорение поезда обозначим через . В этом случае нить, на которой подвешено тело, установится при равновесии не по отвесу, как в равномерно движущемся вагоне, а под некоторым углом к вертикали, отклоняясь в сторону, противоположную ускорению вагона (рис.5.2). Отклонение тем больше, чем больше ускорение. Таким образом, тело относительно вагона находится в равновесии,, в то время как силы, действующие Рис.5.2 

на тело (сила тяжести mg и сила  натяжения нити Т), направлены под углом друг к другу и поэтому уравновешивать друг друга не могут: тело покоится относительно системы отсчета, в то время как результирующая действующих на него сил не равна нулю.  Эту результирующую силу легко найти, рассмотрев движение тела относительно Земли. Так как тело относительно вагона неподвижно, то его ускорение а относительно Земли равно ускорению вагона w (т. е. a=w). Следовательно, результирующая сила равна mw и направлена горизонтально (рис.5.2)

Если нить, на которой висит тело, пережечь, то оно начнет ускоренно падать, причем, как показывает опыт, его траектория относительно вагона окажется наклонной прямой, лежащей на продолжении нити до того, как она была пережжена (рис.5.2). Но после пережигания нити на тело действует только одна сила - сила притяжения Земли, направленная вертикально вниз. Ускорение же относительно вагона направлено под углом к вертикали.