Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 50 )

                                          dt  dt

В момент времени t = 2 c угловое ускорение равно:

                                          ε ( t = 2c) = 10 ⋅ 2 ⋅ 29 = 10240  ≈  1,02⋅ 104 рад/с2 

Момент сил можно определить из основного закона динамики для вращательного движения твердого тела:

                                         М = I ⋅  ε                                                        

где I - момент инерции тела.

В нашем случае момент инерции колеса равен:

                        I = mR2 = mD2/4                                                

C учетом записанного получим:

                                       

При t = 2 c

                 M = 27648 ≈ 2,77 ⋅ 104 Н⋅м

Момент количества движения равен:

                                 L = I ω                                                        

Подставляя выражения для ω,  получим:

                                 

При t = 2 c         L =  = 5529,6 = 5,53⋅  103 кг м2/с

Проверим размерность полученных выражений.

  рад  с11

  [φ] = [А] [t11] = ---- = рад;

  с11 

  рад  с9

  [ε] = [А] [t9]  = ----  = рад/с2

  с11

  mD2  ⋅  A t9  кг м2 с9  кг м м 

  [M] = [-------- ] = ---- = ---- = Н м

  4  11  с11  с2 

  кг м2 c10

  [L] = [  m D2 A t10 ]  = ---- = кг м2 с-1

  c11

Ответ: φ(t=2) =372рад, ε(t=2с)= 1,02⋅ 104 рад/с2, М(t) =2,77 ⋅ 104 Н м

L(t) = 5,53⋅ 103 кг м2/с

Задача 4.3

       Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии по закону , где В=2 рад/с2, С=-0,5 рад/с3. Определить момент сил относительно оси вращения для момента времени t=3 c.

Дано: R=0,1 м; m=5 кг; рад; В=2 рад/с2; С=-0,5 рад/с3; t=3 c.

Найти: Mz.

Решение

       Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

                               , где - момент инерции шара;

                               

                               

Для t=3 c

Ответ: Mz=-0,1 Н·м.

4.2 Закон сохранения момента импульса твердого тела. Энергия вращения твердого тела.

Задача 4.4

       На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью щ = 25 рад/с. Ось колеса расположена  вертикально  и  совпадает  с  осью  скамьи Жуковского.  С  какой  скоростью  щ1  станет  вращаться скамья,  если  повернуть  колесо  вокруг  горизонтальной оси на угол ц=90°? Момент инерции человека и скамьи J равен 2,5 кгЧм2, момент инерции колеса J0=0,5кгЧм2.

Дано:

щ = 25 рад/с

J = 2,5 кгЧм2

J0 =0,5кгЧм2

       Из закона сохранения момента импульса имеем: в изолированной системе сумма моментов импульса всех тел – величина постоянная. Так как диск повернули на угол 90є, то проекция его момента импульса на ось OO’ равна нулю, поэтому , где J0 - момент инерции диска, J – момент инерции скамьи с человеком относительно оси OO’.

Поэтому искомая величина .

Задача 4.5

       На краю платформы в виде диска, вращающей­ся  по  инерции  вокруг  вертикальной  оси  с  частотой н2 = 8 мин-1, стоит человек массой m = 70 кг. Когда че­ловек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой н1=10 мин-1. Определить массу M платфор­мы. Момент инерции человека рассчитывать как для ма­териальной точки.

Дано:

н2 = 8 мин-1

m = 70 кг

н1=10 мин-1

       Воспользуемся законом сохранения момента импульса: , где - момент инерции сплошного диска радиусом R и массой M, н2 – начальная частота вращения человека с диском, J1+J2 – суммарный момент инерции  диска и человека, находящегося на краю диска, н1 – частота вращения после перехода человека в центр. Момент инерции человека J2=mЧR2, так как он стоял на расстоянии R от оси вращения.

Тогда ,

откуда .

Подставляем числа. .

Задача 4.6

       На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 20см, момент инерции которого 0,15 кг·м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 0,5кг. До начала вращения барабана высота груза над полом составляла 2,3м. Определить: а) время опускания груза до пола; б) силу натяжения нити; в) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

Дано: R=0,2 м; Jz=0,15 кг·м2; m=0,5 кг; h=2,3 м.

Найти: t, T, Eк.

Решение

По закону сохранения энергии

откуда 

Время опускания груза до пола: .

Уравнение динамики вращательного движения вала :

                               

откуда сила натяжения нити:

                               

тогда                         .

Кинетическая энергия груза в момент удара о пол:

                               

Ответ: t=2 с; Т=4,31 Н; Ек=1,32 Дж.

Задачи для самостоятельного решения

Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. Полый тонкостенный цилиндр массой 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену 1,4 м/с, после удара 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию через 4 с после начала действия силы. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: а) момент сил торможения; б) момент инерции вентилятора. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения 2 Н·м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с2. С наклонной плоскости, составляющей угол 300 с горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. Движение в неинерциальных системах отсчета

       Цель занятия: на конкретных примерах решения задач показать, что существуют системы отсчета (неинерциальные системы отсчета), относительно которых законы Ньютона  не выполняются.  Ввести понятие–сила инерции, которая не является  результатом воздействия на данное тело других тел. Рассмотреть действие сил инерции во вращающихся НИСО, примеры проявления сил на практике, в технических задачах.