Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 47 )

                                  (2)

                                  (3)

Вид последних уравнений не зависит от того, в какую сторону движется доска.

На основании закона Кулона-Амонтона

                                    (4)

С помощью первого из соотношений (4) и уравнения моментов (1) определяем

Fтр и N. Теперь становится понятным, почему можно было ограничиться только уравнением моментов сил, действующих на балку: по условию задачи нас интересует только движение доски, а ее взаимодействие с балкой описывается двумя силами Fтр и N, которые удается определить из написанных соотношений. Итак,

.

Для нахождения силы F нужно подставить в уравнение (2) вместо и их выражения (4). При этом выражается из соотношения (3) через силу N, которая найдена. Проделав все это, получаем

.

Задача 2.7

       На горизонтальной плоскости лежит доска массы M2 = 2 кг, которой помещен груз массы M1 = 1 кг. Горизонтальная сила F = 20 Н приложена к грузу. Коэффициент трения между плоскостью и доской K1 = 0,1, между доской и грузом K2 = 0,5. Найти ускорение обоих тел и необходимое условие сдвига груза с доски.

Решение

       На груз действует внешняя сила F и сила трения Fтр12 со стороны доски. На доску действуют сила трения Fтр21 со стороны груза и сила трения между доской и плоскостью Fтр. Запишем уравнение движения тел:

,

где

        ,

отсюда 

м/с2; м/с2.

Чтобы сдвинуть груз с доски, необходимо выполнить условие:

,

или Н.

Задача  2.8

На горизонтально вращающемся столике укреплен вертикальный стержень, к вершине которого привязана нить. К концу нити прикреплен шарик массы m. С какой угловой скоростью ω вращается столик, если нить составляет с вертикалью угол α. Длина нити l, расстояние стержня от оси вращения b.

Решение.

Уравнение вращательного движения в проекции на ось X:

                                       

Проекция сил на ось Y дает:

                                       

В результате получим

               .

Задача 2.9

       Кубик стоит у стены так, что одна из его граней образует угол α с полом. При каком значении коэффициента трения кубика о пол это возможно, если трение о стену пренебрежительно мало?

Решение

Запишем условие равновесия кубика относительно точки 0, где - сумма моментов сил.

Задача 2.10

       Лестница стоит у гладкой стены. Коэффициент трения между лестницей и полом равен 0,5. Вычислить наибольший угол α между стеной и лестницей, при котором лестница еще не будет скользить.

Решение.

       Запишем проекции сил на оси координат:

Ось X: (1);  ось Y: (2).

Максимальная сила трения покоя (3).

Уравнение моментов сил относительно точки 0 будет:

(4).

Подставив (1), (2), (3) в (4), получим: . После подстановки численных значений .

Задача 2.11

       Брусок массой 6 кг зажат горизонтальными силами по 200 Н каждая двумя вертикальнами стенками. Какая вертикальная сила потребуется для того, чтобы равномерно перемещать брусок вниз, если коэффициент трения k = 0,25?

Решение.

Движение равномерно, если равнодействующая равна нулю. Поэтому , т. к. по условию, то и равны. Тогда или

2.2 Энергия, работа. Закон сохранения полной  механической энергии материальной точки.

Задача 2.12

Два одинаковых шарика соединены невесомым стержнем длины l0. Система расположена на горизонтальной плоскости и приведена во вращение так, что ее центр покоится. Сколько оборотов сделает система? Начальная скорость каждого из шариков равна υ0, коэффициент трения о плоскость равен k.

Решение.

Пусть каждый шарик прошел до остановки путь l, тогда закон сохранения энергии дает:

                                       .

Число оборотов :

                                       , 

Окончательно:                        .

Задача 2.13

Цилиндрическая труба высотой H и тол­щиной стенок В построена из материалов с плотностью ρ. Считая, что сечение трубы есть кольцо с внутренним радиусом R, найти работу силы тяжести при постройке трубы.

Решение

Н, В, R  Работа силы тяжести равна убили потенциальной  энергии 

А-?                 Атяж= -ΔWп  или  Aтяж= - (mgh – mgh0),

где  h0 и h – высота  центра тяжести  материалов до и после постройки

т. к. h0=0,  h=H/2,  m=ρV, то  Атяж= - ρgVH/2,

V=SH = πH (R22 - R12) = πH[(R+B)2- R2].

Подставив, получим:  Атяж= - πρgBH2(2R+B)/2,

Знак минус означает, что работа силы тяжести. отрицательна, т. е. при перемещении материалов вверх сила тяжести дейст­вовала навстречу, т. е. вниз.

Задача 2.14

Тело массой m поднимают медленно по желобу высотой h и длиной основания b. Считая коэффициент трения равным  к, найти работу внешней силы (силы тяги), работу силы тяжести, работу силы трения и силы нормальной реакции.

Решение

m

h  Fi  Qi

b  F  Q

k  ΔSi

AT -?  h  Δhi  α  FTP i 

Amg -?  FTP  α

Ac -?  α  mg

AQ -?  mg  S  Δbi 

Силы, действующие на тело, очевидны.

Т. к. тело движется под действием переменных сил (движе­ние криволинейное), то путь S надо разбить на столь малые участки ΔSi,  которые были бы неотличимы от отрезков прямых. Тогда:

ΔAсопр. i= FTр. iΔ Si (-1)= - kQiΔSi= - kmg cosαi ⋅ΔSi= - kmgΔbi

Aсопр = ΔАсопр.1+…+ΔАсопр. n=  - kmg (Δb1+Δb2+…+Δbn)= - kmgb

ΔAg i = mgΔSi⋅ cosβi  = - mgΔhi

Ag= - mg (Δh1+Δh2+…+Δhn)= - mgh

Или т. к. W0 n=0  (на высоте, равной 0), то - mgh= -(W-W0)= ΔWg  и  Ag= -ΔWg