Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 44 )

Дано:

h0 = 0м,

∆t = 1c,

h  ? vср? vср2?        

Решение:

Направим ось у вертикально вниз, и пусть начало координат совпадает с начальным положением тела

1) Согласно формуле:

                               

уравнение движения запишется в виде:

                               

в момент падения на землю у = h0.

Отсюда время движения тела:

                               

За время ( t - ∆t) тело прошло путь:

                               

Путь за последнюю секунду равен:

2) Тело прошло путь h0. Время движения . Тогда средняя скорость падения

                               

  или                          , 

3) Для определения средней скорости на второй половине пути, необходимо узнать время, за которое эта часть пути пройдена. Время движения на второй половине пути равно полному времени полета t минус время t1, затраченное на прохождение первой половины пути. Время t1 находится из уравнения:

                               ,

т. е.

                               

Таким образом,

                               

Следовательно,

                               

Ответ: h = 15м; vср = 10м/с; vср2 = 17м/с.

Задача 1.9

  В выбранной системе отсчета указаны положение материальной точки А и ее скорость V=10 м/с при t=0. На точку действует только сила тяжести, направленная вдоль оси оу. Написать уравнение движения вдоль оси оу и ох, если ОА=6 м. Найти положение движущейся точки через 1 с.

Как видно из рисунка, в момент времени t=0 скорость точки направлена горизонтально. В этом случае можно записать составляющие начальной скорости по оси ох в виде:

  Vox= V0

По оси оу в виде:

  Voy=0

Поскольку вдоль оси ох движение равномерное, то зависимость координаты от времени, т. е. х=х(t) имеет следующий вид:

  x=x0 + V0t

В момент временим t=0  х=0, поэтому:

  х=V0t = 10t

  Поскольку вдоль оси оу имеет место свободное падение, то зависимость координаты от времени, т. е. у=у(t) запишется следующим образом:

 

  В момент времени t=0  у0=ОА= 6 м, V0у=0, ускорение свободного падения направлено в сторону, противоположную оси оу. С учетом всего этого можем записать:

   

Здесь приняли ускорение свободного падения g=10 м/с2.

  Найдем теперь уравнение траектории, т. е. зависимость у=у(х). Для этого надо исключить время t из системы двух уравнений х=х(t) и у=у(t).

  х=10t

  у=6-5t2

Окончательно получаем:

  у= -0,05х2 +6

Это и есть уравнение траектории. Уравнение траектории представляет собой квадратное уравнение относительно х, график такой зависимости изображается параболой с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы имеет координаты: 

  х=0, у= 6

Изобразим график этой зависимости.

  Найдем положение движущейся точки через1 с. Для этого вычислим ее координаты:

  х= 10 м/с 1 с= 10 м

  у=6 м – 5 м/с2 1 с = 1 м

Найдем дополнительно место пересечения точки с осью ох:

  у=0
  0= - 0,05 х2 + 6
Отсюда имеем:

  м

Из двух корней нас интересует только один х= 11 м.

Задача 1.10

       С башни высотой Н = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью х0=15 м/с. Найти: сколько времени камень будет в движении; на каком расстоянии Sx от основании башни он упадет на землю; с какой скоростью х он упадет на землю; какой угол ц составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю.

Дано:

h = 25 м,

х0 = хх = 15 м/с;

t -?, L -?, х -?, ц -?

Решение:

Перемещение брошенного горизонтально камня можно разложить на два: горизонтальное Sx и вертикальное Sy.

                               

Применяя закон независимости движения, имеем:

                               ,

                               ,

отсюда,

                               

                               Sx = L = v0·t = 15 · 2,26 = 33,9 м;

                               vу = g · t = 9,81 · 2,26 = 22,1 м/с,

                               

                                       

Задача 1.11.

       Тело брошено под углом б к горизонту с начальной скоростью х0. Определить время полета t, максимальную высоту Н подъема и дальность L полета.

Дано:

б, х0

t -?, Н -?, L -?

Решение:

       Как обычно задача начинается с выявления сил, действующих на тело. На тело действует только сила тяжести, поэтому в горизонтальном направлении оно перемещается равномерно, а в вертикальном - равнопеременно с ускорением g.

Будем рассматривать вертикальную и горизонтальную составляющие движения тела по отдельности, для этого разложим вектор начальной скорости на вертикальную ( х0·sinб ) и горизонтальную ( х0·cosб ) составляющие.

                       

Начнем рассматривать вертикальную составляющую движения. Время полета t = t1 + t2, где t1 - время подъема (тело движется по вертикали равнозамедленно), t2 - время спуска (тело движется по вертикали равноускоренно).

Вертикальная скорость тела в наивысшей точке траектории (при t = t1) равна очевидно нулю. С другой стороны, эта скорость может быть выражена при помощи формулы зависимости скорости равнозамедленного движения от времени.

Отсюда, получаем: 0 = х0Sinб - g·t1        или

                                       

Зная t1, находим Н:

                                       

Подставим t1 в выражение для H, тогда получим:

Время спуска t2 можно вычислить, рассмотрев падение тела с известной высоты Н без начальной вертикальной скорости: