Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 42 )

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид

Волны, разность фаз которых остается постоянной во времени, называются когерентными. Когерентными могут быть лишь волны одинаковой частоты.

Интерференция волн – явление наложения двух или нескольких когерентных волн, в результате которого в разных точках пространства наблюдается устойчивое усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Выражение

определяет условие интерференционного максимума: максимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для которых разность хода волн равна нулю или целому числу длин волн. Целое число m называется порядком интерференционного максимума.

Условие интерференционного минимума

,

то есть минимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для которых разность хода волн равна нечетному числу длин полуволн. Число m в данном случае называется порядком интерференционного минимума.

Волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, называются стоячими. Уравнение стоячей волны имеет вид

Точки, в которых амплитуда максимальна (), называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей

 

Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (), называются узлами стоячей волны. Координаты узлов

 

Упругие волны, обладающие частотами в диапазоне 16-20000 Гц, называются звуковыми или акустическими волнами. Волны с <16 Гц (инфразвуковые) и >20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.

Изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга называется эффектом Доплера:

где – частота колебаний источника, – скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, – соответственно скорости движения источника и приемника. Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак – в случае их взаимного удаления.

Энергия волны

При распространении волны в пространстве от какого-либо источника происходит и распространение энергии; частицы среды, вовлекаемые в колебательное движение, получают энергию от волны. Проследим, как энергия от источника распространяется в пространстве.

Предположим, что наш источник - плоская металлическая мембрана, колеблющаяся с определённой частотой. Колебаться мембрану заставляет вынуждающая сила, например, переменное (синусоидальное) магнитное поле. Мембрана, в свою очередь, заставляет колебаться частицы воздуха, и в пространстве за мембраной распространяется плоская продольная упругая волна.

Энергия мембраны есть энергия её движения, то есть чисто кинетическая энергия. (Будем считать мембрану безинерционной и неупругой, её колебания в точности соответствуют колебаниям магнитного поля.) Среду, в которой распространяется волна (воздух) будем считать идеальной, не поглощающей волну (реально это справедливо для небольших участков пространства, в пределах которых диссипацией энергии можно пренебречь).

Поскольку мембрана колеблется по синусоидальному закону, её энергия (кинетическая) также будет периодически меняться со временем, но с удвоенной частотой (энергия пропорциональна квадрату скорости и не зависит от её знака). Следовательно, энергия источника будет поступать в среду циклически, с частотой, в два раза большей частоты колебаний источника.

Какие формы принимает энергия в среде за мембраной? Во-первых, это кинетическая энергия частиц воздуха, пришедших в движение; во-вторых, поскольку среда упругая, это потенциальная энергия деформации воздуха. Причём и кинетическая, и потенциальная энергия в любой точке пространства изменяются абсолютно синхронно во времени: когда кинетическая энергия достигает максимума, то и потенциальная энергия максимальна, и наоборот. Действительно, проследим за слоем воздуха непосредственно за мембраной: когда скорость мембраны максимальна, максимальна и скорость частиц воздуха, но при этом мы имеем и максимальное сжатие воздуха за мембраной. Когда скорость мембраны равна нулю (два раза за период), энергия мембраны равна нулю, в волну в эти моменты энергия не поступает.

Пусть v* - скорость частиц среды в какой-то момент времени в какой-то точке пространства (или, точнее, в физически малом объёме dV). Объёмная плотность кинетической энергии Wk запишется (r - плотность среды):

Объёмная плотность потенциальной энергии упруго деформируемой среды равна:

n - фазовая скорость волны, e - относительная деформация среды.

Учитывая, что:

имеем:

Причём в каждой точке пространства объёмные плотности кинетической и потенциальной энергий равны. Этот вывод справедлив для любых волн в упругих средах: полная механическая энергия волны в каждой точке есть сумма двух равных слагаемых, потенциальной и кинетической энергий.

Из приведённой формулы следует, что среднее за период значение объёмной плотности энергии равно:

Скорость переноса энергии волной есть скорость перемещения в пространстве фиксированной амплитуды волны; для простой синусоидальной волны эта скорость совпадает с фазовой скоростью.

Введём новые понятия, характеризующие перенос энергии в пространстве.

Поток энергии через площадку ds - энергия, прошедшая через эту площадку в единицу времени. Если скорость переноса энергии n, то поток энергии dФ через площадку dS запишется:

Если площадка расположена не перпендикулярно направлению распространения энергии, следует писать в более общем виде:

Если площадка расположена параллельно вектору скорости, то, разумеется, поток энергии через неё равен нулю. При этом под направлением ориентации площадки понимается направление нормали к её поверхности.

Плотность потока энергии U есть поток энергии через единичную площадку, то есть:

В отличие от потока плотность потока - величина векторная. Вектор плотности потока энергии волны носит ещё название вектора Умова

Среднее значение модуля вектора плотности потока энергии (вектора Умова) есть интенсивность волны:

При этом интенсивность упругой (то есть механической, звуковой) волны зависит как от амплитуды, так и от частоты, - в отличие от интенсивности электромагнитной волны, которая зависит только от амплитуды и не зависит от частоты.

Вопросы для самоконтроля и повторения

-  Что называется волновым процессом? Как объяснить распространение

  колебаний в упругой среде?

-  Какая волна называется продольной, поперечной?

-  Что такое волновой фронт, волновая поверхность?

- Что называется длиной волны? Какова связь между длиной волны, фазовой

  скоростью и периодом?

-  Какая волна называется гармонической, плоской, сферической?

-  Запишите дифференциальное уравнение плоской бегущей волны. Каково его

  решение?

-  При каких условиях возникает интерференция волн? Запишите условия

  интерференционных максимума и минимума.

-  При каких условиях возникают стоячие волны? Чем стоячая волна отличается от бегущей волны?

-  Чему равно расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны? Двумя соседними пучностями? Соседними пучностью и узлом?

-  Что такое звуковые волны? От чего зависит скорость звука в газе?

-  От чего зависят громкость, высота и тембр звука?

- Что называется эффектом Доплера? Изменится ли частота колебаний, воспринимаемых покоящимся приемником, если источник колебаний от него удаляется?

ПРАКТИЧЕСКИЕ И ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ

Практические занятия

       Целью проведения практических занятий является помощь в освоении теоретического материала и приобретение определенных навыков в решении задач.