Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 37 )

          (7.30)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к собственной частоте колебательной системы , называется резонансом. Из выражения (7.30) следует, что при значение резонансной частоты практически совпадает с .

Подставляя (7.30) в формулу (7.27), найдем резонансную амплитуду:

          (7.31)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от циклической частоты при различных значениях коэффициента затуханий приведена на рис. 6.14. Чем меньше , тем выше и правее находится максимум функции . Если , то все кривые (см. (7.27)) приходят к одному предельному значению , которое называется статическим отклонением. Если , то кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из выражения (7.31) следует, что при малом затухании резонансная амплитуда

где Q – добротность колебательной системы. Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Арез.

Большой интерес для практики представляют незатухающие колебания в диссипативной системе, поддерживаемые за счет внешнего источника, когда система сама обеспечивает согласованность поступления энергии в такт с ее колебаниями. Системы, генерирующие такие незатухающие колебания, называются автоколебательными.

Основными элементами автоколебательной системы являются (рис. 7.8):

1. Источник энергии, за счет которого поддерживаются незатухающие колебания (источник ЭДС или напряжения, потенциальная энергия сжатой пружины и т. п.).

2. Колебательная система, то есть та часть автоколебательной системы, в которой собственно происходят колебания (колебательный контур, маятник или балансир часов и т. п.).

3. Устройство, регулирующее поступление энергии от источника в колебательную систему (клапан).

4. Обратная связь – устройство, с помощью которого колебательная система управляет клапаном.

Примером автоколебательной системы является генератор на транзисторе, широко применяемый в передающих радиостанциях, радиопередатчиках, усилителях, вычислительной технике.

Если в такт с колебаниями периодически изменяется какой-либо параметр системы, то возможен параметрический резонанс. Таким образом, параметрический резонанс – это явление раскачки колебаний при периодическом изменении параметров тех элементов системы, в которых сосредоточивается энергия колебаний (реактивные или энергоемкие параметры). Этот вид резонанса возможен в колебательных системах различной физической природы.

Пример механической системы, в которой возможен параметрический резонанс, – маятник в виде груза массой m, подвешенного на нити, длину l которой можно изменять (рис. 6.17). На рис. 7.9, а показано устройство маятника с переменной длиной подвеса, на рис. 7.9, б – схема движения тела маятника за один период.

Маятник с неподвижной точкой подвеса совершает собственные колебания с циклической частотой , причем сила натяжения нити максимальна в нижнем положении груза и минимальна в крайних. Поэтому если уменьшать l в нижнем и увеличивать в крайних положениях, то работа внешней силы, совершаемая в среднем за период, оказывается положительной и колебания будут продолжаться за счет работы по изменению параметра l системы.

На параметрическом резонансе основано самораскачивание на качелях, когда эффективная длина маятника периодически изменяется при приседаниях и вставаниях качающегося.

       Применим полученные соотношения и характеристики к колебательным системам различной природы.

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием силы упругости , где k – жесткость пружины. По второму закону Ньютона уравнение движения маятника имеет вид:

,

или

Из уравнения (7.7) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой:

и периодом колебаний

                 (7.32)

Формула (7.22) справедлива в пределах, в которых выполняется закон Гука, то есть когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника может быть рассчитана по формуле:

                 (7.33)

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и колеблющаяся в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити.

В положении равновесия маятника сила тяжести и сила натяжения нити уравновешивают друг друга (рис. 7.10, а).

Если отклонить маятник из положения равновесия на небольшой угол , то силы тяжести и натяжения нити окажутся под углом друг к другу и равновесие нарушится (рис.7.10,б). Возвращающей силой для маятника будет составляющая силы тяжести , равная

Так как направления смещения x и возвращающей силы противоположны, то . По второму закону Ньютона уравнение движения маятника имеет вид:

откуда

Сравнивая записанные уравнения, можно сделать вывод, что колебания математического маятника происходят с циклической частотой:

а период его гармонических колебаний:

          (7.34)

Таким образом, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С  тела.

Если отклонить маятник из положения равновесия на небольшой угол (рис. 7.7), то по уравнению динамики вращательного движения твердого тела момент возвращающей силы можно записать в виде

  (7.35)

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника (плечо возвращающей

силы ); знак «минус» обусловлен тем, что направления силы и изменения угла всегда противоположны.

Уравнение (7.35) можно переписать в виде:

 

или

                                   (7.36)

Из него следует, что при малых отклонениях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

и периодом

                          (7.37)

где - приведенная длина физического маятника.

Точка на продолжении оси ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим: