Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 48 )

Сила Q работы не совершает, т. к. она составляет угол 900 с направлением движения.

Для работы силы F имеем:

ΔAi = FiΔSi (+1) = (Fi +mgsinαi) ΔSi =

= (kmgcosαi + mgsinαi) ΔSi = kmgΔbi + mgΔhi=

= mg(kΔbi +Δhi),

A = kmgb + mgh

V=const ΔW=0  A= - A +ΔW=kmgb +mgh.

Надо обратить внимание на то, что если работа силы F на участке ДS равна ДA1 , то работа ДA2 против этой силы, т. е. силы равной и противоположной силе F будет отличаться от ДA1 лишь по знаку.

Действительно, поскольку F1 = - F2 и ДS1 =ДS2 ,то F1 ДS1 = - F2 ДS2 или ДA1  = - ДA2. Поэтому работа силы тяжести равна: A = - mgh

Задача 2.15

Какую минимальную работу надо совершить, чтобы однородный свинцовый кубик с ребром l, находящийся на горизонтальной плоскости, повернуть с одной грани на другую (соседнюю)?

Решение

ρ

l  l

A -? 

  k  0  h  k 

  l /2

  а)  б) 

При поворачивании кубика центр тяжести его (точка 0) должен выть поднят на высоту h=d-l/2 . Следовательно, наимень­шая работа, необходимая для такого поворота будет равна изме­нению (увеличению) только потенциальной энергии кубика при подъеме его центра тяжести на эту высоту h:

A = W2 - W1

где W1 - потенциальная энергия кубика в положении, изобра­женном на рис. a; W2 - потенциальная энергия кубика в поло­жении, изображенном на рис. б. 

За уровень начала отсчета потенциальной энергии выберем уровень kk1 , проходящей через центр тяжести кубика в исход­ном положении. Тогда  W1=0; W2 =mgh, где m - масса кубика: m =ρV=ρl3  (ρ— плотность).

Следовательно,

A = W2 - W1= ρgl3( d - l/2 )

  d=(√2/2 )l

Задачи для самостоятельного решения

Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону , где С=2 м/с2, D=0,4 м/с3. Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с2; б) опускать с тем же ускорением. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол б равен 200), действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением, определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином м=0,15. Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина. Динамика системы материальных точек. Законы сохранения

       Цель занятия: выработать убеждение, что законы сохранения справедливы только для замкнутых систем тел. Добиться понимания, что внутренние силы не изменят импульс, момент импульса, полную энергию системы тел.

Примеры решения задач

Центр масс системы. Закон сохранения импульса, его применение к расчету характеристик движения системы.

Задача 3.1

С башни высотой 20м горизонтально со скоростью 10 м/с брошен камень массой 400г. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить кинетическую и потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения.

Дано:

H = 20 м;

v0 = 10 м/с;

m = 0,4кг; 

t = 1c.

Найти: Ek, Eп.

Решение

В точке А     где

     

Подставляя числовые данные, получим Ek  = 39,2 Дж, Eп = 59,2 Дж.

Ответ: Ek  = 39,2 Дж, Eп = 59,2 Дж.

Задача 3.2

       Автомобиль массой 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути (рис.2). Определить: а) работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; б) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин.

Дано: m = 1800 кг; sinб = 0,03;

s = 5000 м; м = 0,1; t = 300 с.

Найти: А, Р.

Решение

где

   

Подставляя числовые данные, получим:

А = 11,5·106 Дж, Р = 38,3·103 Вт.

Ответ: А = 11,5 МДж, Р = 38,3·кВт.

Задача 3.3

Человек весом 800 Н переходит с носа на корму в лодке длиной 5 м.

Сколько весит лодка, если она за время этого перехода переместилась

в стоячей воде в обратном направлении на 2 м? Начальная скорость лодки

относительно во­ды равна нулю.

Решение

L= 5 м. 

P=800 H.  1-й Способ.

V1=V2=0                  Запишем закон сохранения импульса:

S=2 м.  m1V1+ m2V2 = m1V1’  + m2V2’

P=?  т. к.  V1=V2=0,  то m1V1’ + m2V2’=0 

  или m1/m2 =V2’/V1 ,где m1 - масса человека, m2— масса лодки,

V2’- скорость лодки относи­тельно воды, V1’ скорость человека относительно воды, рав­ная сумме скорости человека относительно лодки и скорости лодки относительно воды V2’,т. е. V1’=V’+V2’.Следовательно,

                                       m1 /m2 = - V2 ’/(V+V2’)

Т. к. время взаимодействия для обоих тел одинаково, можно записать

                                m1/m2 = - V2’ t /(V+V2’)t

или                                        P1/P2= - S/ L+S,

где P1 - вес человека,  P2 - вес ложки.

Отсюда

                                 P2 = - P1 (L+S)/S;  P1= - 800(5-2)/ -2 =1200(H).

2-ой Способ. Т. к. импульс изолированной системы постоянен, то ее центр масс

Y 

0  Х

       

               Xc =( M L/2 +mL) / (M +m) = (M (L/2 +S) + mS) / ( M + m).

Отсюда находим:

P = Mg = mg(L+S)/ S.

Задача 3.4

Два глиняных комка массами m1 и m2 , летящие со скоростями V1 и V2 навстречу друг другу, неупруго соударяются. Найти количество выделившегося тепла Q.

Решение

m1  m2                   

V1  до удара

V2 

Q-?

    после удара 

Очевидно,

m1V1 + m2V2 = (m1+m2)u

m1V12 /2 + m2V2 2 /2= (m1+m2)u2 /2 +Q

Считая направление вправо положительным, имеем

m1V1 - m2V2 = (m1+m2)u

m1V12 /2 + m2V2 2 /2= (m1+m2)u2 /2  +Q

Исключая  u, получим

m1V12 /2 + m2V2 2 /2= (m1+m2) (m1V1 - m2V2 )2/ [2(m1+m2)2] +Q

Откуда

Q= m1V12 /2 + m2V2 2 /2 - (m1+m2) (m1V1 - m2V2 )2/ [2(m1+m2)]

раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим,

Q= m1 m2(V1  + V2 )2/ [2(m1+m2)]

Закон сохранения момента импульса системы материальных точек, его применение к расчету характеристик движения системы.

Задача 3.5

По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой m = 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение е и час­тоту вращения н маховика через время t= 10 с после начала действия силы, если радиус R шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь.

D = 75 см

m = 40 кг

F = 1 кН

t= 10 с

R = 12 см

н = ?

е = ?

                                               

Решение

       Из второго закона Ньютона, применяемого к вращающимся телам, находим , где M – вращающий момент, е – угловое ускорение, J – момент инерции диска. Момент инерции однородного диска массой m и диаметром D равен . Так как сила приложена к краю шкива, то вращающий момент этой силы равен M=FЧR. Откуда угловое ускорение .