Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 40 )

                  (7.7)

решением которого является уравнение любой волны.

В случае сферической волны амплитуда убывает обратно пропорционально расстоянию r от источника колебаний. Зависимость смещения частиц среды от координат и времени (решение уравнения (7.7)) в данном случае будет иметь следующий вид:

где r – расстояние от центра возмущения до рассматриваемой точки среды (радиус сферической поверхности в момент времени t).

Интерференция волн. Стоячие волны

В упругой среде могут одновременно распространяться колебания, возбуждаемые несколькими источниками. Если эта среда линейна, то при распространении в ней нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые она получает, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Этот принцип независимости распространения волн известен под названием принципа суперпозиции.

Принцип суперпозиции можно проверить, бросив в воду два камня. После того как кольцевые волны, возникшие около мест падения камней, проникнув друг через друга, снова разойдутся, они будут по-прежнему представлять собой правильные круги с центрами в местах падения камней. Этот факт был замечен еще Леонардо да Винчи (1452-1519).

В области перекрытия волн колебания налагаются друг на друга, происходит наложение волн, в результате чего колебания в одних местах усиливаются, а в других – ослабляются. В каждой точке среды результирующее колебание будет суммой всех колебаний, дошедших до данной точки.

Особый интерес представляет случай, когда источники колебаний колеблются с одинаковой частотой, имеют одинаковые направления колебаний и постоянную во времени разность фаз. Такие источники называются когерентными. При наложении в пространстве двух или нескольких когерентных волн в разных его точках происходит устойчивое во времени их взаимное усиление или ослабление в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называют интерференцией волн от когерентных источников.

Рассмотрим наложение двух гармонических волн, возбуждаемых точечными источниками и , циклические частоты колебаний которых равны и , а начальные фазы – соответственно и . Пусть возбуждаемые волнами колебания в произвольной точке В (рис. 2.3) одинаково направлены и описываются уравнениями

По принципу суперпозиции результирующие колебания в точке В описываются выражением

где А, Ф – соответственно амплитуда и фаза результирующих колебаний, определяемые из векторной диаграммы (см. параграф 1.3):

Учитывая, что волновое число , разность фаз складываемых колебаний в точке В будет равна:

Если накладываются волны от когерентных источников (), распространяющиеся в однородной и изотропной среде (), то

где - геометрическая разность хода волн от их источников до рассматриваемой точки В. Так как и , то амплитуда А результирующих колебаний не зависит от времени, а определяется лишь разностью фаз складываемых колебаний:

         (7.8)

Анализ (2.8) показывает, что амплитуда результирующего колебания будет максимальной во всех точках В, для которых аргумент косинуса равен четному числу :

где

Если заменить и принять, что , то

                          (7.9)

Соотношение (7.9) выражает условие интерференционного максимума: максимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для которых разность хода волн равна нулю или целому числу длин волн. Целое число m называется порядком интерференционного максимума.

Очевидно, что амплитуда результирующего колебания будет минимальной во всех точках В, для которых

где , откуда (при ) получаем условие интерференционного минимума:

,                 (7.10)

то есть минимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для которых разность хода волн равна нечетному числу длин полуволн. Число m в данном случае называется порядком интерференционного минимума.

Особым случаем результата интерференции двух волн являются стоячие волны, образующиеся в результате наложения двух встречных плоских волн с одинаковыми амплитудами и частотами.

Пусть две плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами и частотами распространяются навстречу друг другу вдоль оси х:

Сложив эти уравнения, учитывая, что волновое число и , получим уравнение стоячей волны:

    (7.11)

В точках среды, где

амплитуда стоячей волны достигает максимального значения . Такие точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей

 

В точках среды, где

амплитуда стоячей волны обращается в нуль (). Такие точки называются узлами стоячей волны. Координаты узлов

 

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны бегущих волн. Эту величину называют длиной стоячей волны (рис. 7.4).

Образование стоячих волн происходит обычно при интерференции бегущей вперед и отраженной волн. Например, если один конец шнура укрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления шнура волна будет интерферировать с бегущей вперед и образовывать стоячую волну. При этом на границе отражения может образовываться или узел, или пучность – это зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, чем среда, в которой распространяется волна, то на границе получается узел. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, чем та, в которой распространяется волна, то на границе получается пучность (рис. 7.4).

Образование узла на границе отражения от более плотной среды объясняется тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, в месте отражения меняет свою фазу на прямо противоположную. Тогда на границе складываются колебания противоположных направлений, что и ведет к образованию узла. Отражаясь от менее плотной среды, волна не меняет фазы в месте отражения, поэтому фазы падающей и отраженной волн у границы одинаковы, и в этом месте образуется пучность как результат сложения колебаний одинаковых фаз.