Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 43 )

       При решении задач рекомендуется определенная последовательность.

Необходимо:

-  изучить теоретический материал по теме;

- ознакомиться и проанализировать примеры решения по изучаемой теме;

- начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения, которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи, обязательно сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи. Рисунок должен  быть достоверным (например, равные по модулю силы изображать векторами-отрезками одинаковой длины и т. д.);

-  условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в единицах СИ;

-  недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц;

- решение задачи сопровождать пояснительным текстом;

- решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности отдельных членов формулы;

-  выполнить числовые расчеты;

-  получив числовой ответ, оценить его правдоподобность.

Темы практических занятий

Кинематика материальной точки

1.1 Кинематические характеристики поступательного движения материальной точки.

Цель занятия: познакомить с общим подходом к решению задач  кинематики; выработать общий алгоритм решения. Выработать навыки определения скорости и ускорения дифференцированием уравнения движения. Рассмотреть примеры расчета кинематических характеристик движения.

Примеры решения задач

Задача 1.1

Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой Найти величину полного ускорения точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени 4 с

Дано: ; 0,1 м; 4 с.

Найти:

Решение

где    

  рад/с2=const.

В момент времени 4 с рад/с;

м/с2.

Ответ: а=1,65 м/с2.

Задача 1.2

Уравнение движения тела дано в виде х = 4 - 3t. Определить начальную координату тела, скорость движения и перемещения тела за 2 секунды.

Дано:

х = 4 - 3t,

t1 = 2с;

х0 - ? vx - ? S - ?

Решение:

Сравним данное уравнение движения тела с уравнением движения в общем виде: х = х0 + vx t и х = 4 - 3t.

Очевидно, что х0 = 4м, vx = - 3м/с (знак "-" означает, что направление скорости не совпадает с направлением оси ОХ, т. е. они противоположно направлены). Перемещение тела найдем по формуле: S = х - х0. Конечную координату х можно определить, подставляя в уравнение движения время t1: х = 4 - 3t1. В общем виде формула перемещения: S = 4 - 3t1 - х0 = 4 - 3t1 - 4 = - 3t1 = -3 · 2 = - 6 м (Тело движется в отрицательном направлении оси ОХ).

Ответ: х0 = 4м; vx = -3м/с; S = -6м.

Задача 1.3

Лодочник перевозит пассажиров с одного берега на другой за время t =10 мин. по траектории АВ. Скорость течения реки vр = 0,3 м/с, ширина реки 240 м. С какой скоростью v относительно воды и под каким углом б к берегу должна двигаться лодка, чтобы достичь другого берега за указанное время?

Дано:

vр = 0,3 м/с,

L = 240 м,

t = 10 мин = 660 с

v' - ? б - ?

 

Решение:

Примем берег за неподвижную систему отсчета. Тогда относительно берега скорость лодки равна:  

Эта скорость является суммой двух скоростей: скорости лодки относительно воды v' (скорости относительно подвижной системы отсчета) и скорости реки vр (скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной). По закону сложения скоростей: v =vр + v'. Так как по условию задачи скорость лодки относительно берега направлена вдоль АВ, а скорость реки перпендикулярно АВ, то скорость лодки относительно воды(по теореме Пифагора):

                               

                               

Искомый угол можно найти из выражения:

                               

                                               

Ответ: v' = 0.5 м /с, б = arctg ≈ 530.

Задача 1.4

       Пусть х возрастает пропорционально квадрату времени, т. е. х = А·t2. Чему равна мгновенная скорость в момент времени t1 - ?

Дано:

х = А·t2;

v - ?

Решение:

В общем случае производная от степенной функции tn записывается в виде:

Мгновенная скорость определяется:

Ответ: В момент времени t1 имеем v = 2·а·t1.

Задача 1.5

       Зависимость пройденного телом пути S от времени t задается уравнением S = At - Bt2 + Ct3, где А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3. Найти: а) зависимость скорости v и ускорения a тела от времени t; б) расстояние S, скорость v и ускорение а тела через время t =2 с после начала движения.

Дано:

S = At - Bt2 + Ct3, А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3;

а) v(t) -?, a(t) -?

б) S -? , V -? , a-? при t = 2 c.

Решение:

а) Скорость тела: v = ds /dt ; v = A - 2Bt + 3Ct2; v = 2 - 6t + 12t2 м/с. Ускорение тела: а = dv /dt; а= - 2B + 6Сt; a = - 6 + 24t м/с2.

б) Расстояние, пройденное телом, S = 2t - 3t2 + 4t3. Тогда через время t = 2c имеем: S = 24 м; v = 38 м/с; а = 42 м/с2.

Ответ: v = 2 - 6t + 12t2; a = - 6 + 24 t м/с2; S = 24 м; v = 38 м/с; а = 42 м/с2.

Задача 1.6

       Ускорение автомобиля равно а = - 4 м/с2. Что это означает?

Решение:

       Ускорение автомобиля отрицательно, следовательно, скорость его уменьшается, т. е. автомобиль тормозит. Его скорость уменьшается на 4 м/с за каждую секунду.

Задача  1.7

       Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея скорость 18 км/ч, движется равнозамедленно, с ускорением -20 см/с2, другой, имея скорость 5,4км/ч, движется равноускоренно с ускорением 0,2 м/с2. Через какое время велосипедисты встретятся, и какое перемещение совершит каждый из них до встречи, если расстояние между ними в начальный момент времени 130 м?

Дано:

v01 = 18 км/ч = 5 м/с,

a1 = 20 см/с2 = 0,2 м/с2,

v02 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с

a2 = 0,2 м/с2,

x02 = 130 м

S1 - ? S2 - ? t1 - ?

 

Решение: Пусть ось ОХ совпадает с направлением движения первого велосипедиста, а начало координат с точкой O, в которой он находился в момент времени t = 0 (рисунок 1.4). Тогда уравнения движения велосипедиста таковы :

                               

(т. к. а1х= - а1; х01 = 0);

                               

(т. к. v2x = - v02 и a2x = - a2).

В момент встречи в точке А: t = t1; x1 = x2. Тогда получим равенство:

                               ,

откуда v01·t1 + v02·t1 = х02, т. к. а1 = а2,

                               

Определим перемещение каждого до встречи.

                               

Ответ: S1 = 60 м; S2 = 70 м; t1 = 20 c.

Задача 1.8

       Тело падает вертикально вниз с высоты 20 м без начальной скорости. Определить: путь h, пройденный телом за последнюю секунду падения; среднюю скорость падения vср; среднюю скорость на второй половине пути vср2.