Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 49 )

Подставляем числа (переводя одновременно все величины в систему СИ). .

Если диск вращается равноускоренно, то уравнение вращения . Примем начальные условия и - так как начальная частота вращения равна нулю. Тогда .

По определению угловая скорость это производная угла поворота от времени . Поэтому через время t=T угловая скорость равна . Подставляем сюда и получаем . Частота вращения равна по определению , поэтому

Подставляем числа. .

Задача 3.6

       В  известной демонстрации на законы сохранения импульса и энергии при ударе всегда отскакивает столько шаров, сколько налетает; объяснить это:

Решение

Пусть налетает k1 шаров, двигающихся  совместно (слитно) со скоростью V1, отскочат  k2 шаров со скоростьюV2. По закону сохранения импульса и энергии

k1mV1 =k2mV2

k1mV12 / 2=k2mV22/ 2

Сократив массу, получим

k1V1 =k2V2  (1)

k1V12 =k2V22  (2)

Возводя равенство (1) в квадрат и поделив полученное выражение на (2),  получим  k1=k2 , что и требовалось доказать. Деля (2) на (1), получим

V1 =V2

Задачи для самостоятельного решения

Тело массой 5 кг поднимают с ускорением 2 м/с2. Определить работу силы в течение первых пяти секунд. Определить работу, совершаемую при подъеме груза массой 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона 300 к горизонту на расстояние 4 м, если время подъема составляет 2 с, а коэффициент трения 0,06. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: а) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия равна 60 Дж; б) потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения. Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в баллистический маятник длиной 1 м и массой 5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника.

4.Механика твердого тела

       Цель занятия: усвоить характеристики динамики вращательного движения твердого тела: момент инерции твердого тела, момент силы, освоить методику их расчета.

4.1Момент силы. Пара сил, момент пары. Момент инерции, момент импульса твердого тела относительно оси.

Примеры решения задач

Задача 4.1

Из теории известно, прямой расчет момента инерции тела относительно оси сводится к вычислению интеграла

                                       

где - расстояние элементарной массы до оси вращения. При этом, естественно, необходимо учитывать симметрию системы.

Вычислим, к примеру, момент инерции шара (в сферических координатах ) относительно произвольной оси, проходящей через его центр (в данном случае относительно оси Oz):

                               

- масса шара, - его объем.

                               

поэтому

                               

                               

Если считать, что наша Земля - шар с постоянной плотностью массы, то момент инерции Земли относительно центральной оси будет равен

                       

Для сравнения рассчитаем момент инерции молекулы CO2 относительно оси, проходящей через атом углерода перпендикулярно линии, вдоль которой расположены все три атома. 

Основная масса атомов сосредоточена в их ядрах; размеры ядер (~10-14 м) значительно меньше межядерного расстояния (~10-10 м), поэтому атомы кислорода можно считать материальными точками, а моментом инерции атома углерода можно пренебречь. При этих условиях где - молярная масса кислорода, - число Авогадро, - межядерное расстояние. Подставляя числовые значения этих величин, получим:

Задача 4.2

        Маховик в виде колеса массой m = 30 кг и диаметром 60 см вращается с угловой скоростью ω, изменяющейся по закону ω = Аt10 , где А = 2 рад/с11. Найти закон движения φ(t), угловое ускорение ε (t), момент сил М(t) и момент количества движения L(t). Вычислить эти величины через 2 с после начала движения. Считать начальный угол φ(t =0) = φ0 = 0 .

Дано:

m = 30 кг                

D = 0,6 м

ω = Аt10 = 2⋅ t10рад/с

t = 2 c                                        

Определить: φ(t), ε (t), М(t), L(t).

Решение.

       Если известен закон движения, то угловая скорость определяется как первая производная от φ(t) по времени:

                                       

Закон движения φ(t) находится решением обратной задачи, т. е. интегрированием угловой скорости по времени:

                                          t 

                                 φ(t) = ∫  ω(τ) d τ  + φ0 

                                         0 

При ω(t) = 2 ⋅t10 ,с учетом  φ0 = 0:

                                 t  2⋅t11

                                 φ(t) = ∫  2⋅τ10 d τ  + φ0  =  --                        

                                 0  11 

  2⋅211

В момент времени t= 2 с маховик повернулся на угол φ(t =2 с) = --

  11 

= 372,3  ≈ 372 рад.

Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по времени:

                                         dω  d

                                         ε = -- =  -- ( 2 ⋅t10) = 10 ⋅ 2⋅ t9