Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 38 )

то есть всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости (взаимности): если ось подвеса перенести в центр качаний, то точка О прежней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

Сравнивая формулы (7.34) и (7.37), можно сделать вывод, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то их периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, можно записать, используя полученные ранее формулы для скорости. Тогда получим:

                 (7.38)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна:

  (7.39)

Сложив формулы (7.38) и (7.39), получим выражение для полной энергии материальной точки, совершающей гармонические колебания:

                 (7.40)

то есть полная энергия точки со временем остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии (упругая сила консервативна).

Краткие выводы

Колебаниями называют движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания различной природы описываются одинаковыми уравнениями и количественными характеристиками. Различают свободные, вынужденные и автоколебания.

Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса, называют гармоническими:

Гармоническим осциллятором называют систему, описываемую дифференциальным уравнением

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники (при малых отклонениях от положения равновесия), идеальный колебательный контур (при ).

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания,

Кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонически колеблющейся точки массой m

Период гармонических колебаний пружинного маятника

Период гармонических колебаний физического маятника:

Период гармонических колебаний математического маятника:

В реальной колебательной системе из-за наличия трения, омического сопротивления свободные колебания со временем будут затухать. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение имеют вид:

 

где – коэффициент затухания ( в случае механических колебаний (r – коэффициент сопротивления) и в случае электромагнитных колебаний); – циклическая частота затухающих колебаний; – амплитуда затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания:

Добротность колебательной системы:

Системы, в которых генерируются незатухающие колебания за счет поступления энергии от источника внутри системы, называют автоколебательными. Незатухающие колебания, поддерживаемые внутри системы без воздействия на нее внешних периодических сил, называют автоколебаниями. Примером автоколебательной системы является генератор на транзисторе.

Колебания, возникающие под действием внешнего периодически изменяющегося фактора  x(t), называют вынужденными колебаниями. Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний и его решение для установившегося режима

 

где в случае механических колебаний и в случае электромагнитных колебаний;

 

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего переменного фактора к собственной частоте системы называют резонансом. Резонансная циклическая частота и резонансная амплитуда

 

Академик АН СССР (1879-1944) отмечал: «Теория колебаний объединяет, обобщает различные области физики... Каждая из областей физики – оптика, механика, акустика – говорит на своем «национальном» языке. Но есть «интернациональный» язык, и это – язык теории колебаний…Изучая одну область, вы получите тем самым интуицию и знания совсем в другой области». В этом высказывании обоснована полезность аналогии между механическими и электромагнитными колебаниями. Знание такой аналогии позволяет решать ряд задач механики и электродинамики.

Вопросы для самоконтроля и повторения

- Какое движение называется колебательным? Какие колебания называются свободными, гармоническими, вынужденными?

- Дайте определение параметров колебательного процесса (амплитуда, фаза, период, частота, циклическая частота).

- Что называется гармоническим осциллятором? Приведите примеры гармонического осциллятора.

- Выведите дифференциальное уравнение свободных колебаний пружинного маятника. По каким формулам определяются периоды гармонических колебаний пружинного, физического и математического маятников?

- Выведите дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний в контуре. По какой формуле определяется период колебаний в контуре с малыми омическими потерями?

- Какие колебания называются затухающим? Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

- Что такое логарифмический декремент затухания, добротность системы? В чем заключается физический смысл этих величин?

- Какие колебания называются вынужденными? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

- Что называется автоколебаниями? В чем их отличие от вынужденных колебаний? Приведите примеры автоколебательных систем.

-  Что называется резонансом? Запишите выражения для циклической частоты и амплитуды колебаний при резонансе.

- Что называется переменным электрическим током? Выведите закон Ома для цепи переменного тока. От чего зависят индуктивное и емкостное сопротивления?

- Каковы характерные признаки резонанса напряжений, резонанса токов?

- Нарисуйте векторные диаграммы цепей переменного тока в режимах последовательного и параллельного резонанса.

2.14 Механические волны

План лекции

Распространение колебаний в однородной упругой среде. Продольные и поперечные волны. Уравнение плоской волны. Энергия бегущей волны. Поток энергии. Вектор Умова. Интенсивность волны.

Общая характеристика волновых процессов

Пусть точка, совершающая колебательное движение, находится в среде, все частицы которой связаны между собой. Тогда энергия колебаний точки будет передаваться окружающим частицам, вызывая их колебания. Такой процесс распространения колебаний в сплошной среде (жидкой, твердой, газообразной) называется волновым процессом или волной. Пример образования волн можно получить, если бросить камень на поверхность воды: область водной поверхности, которая возмущена падением камня, начнет колебаться, причем это колебание распространяется от этой области к следующим, и на поверхности воды образуется волна. Другой пример образования волны можно получить, если одному из концов шнура придать рукой колебательное движение. В этом случае колебания также будут распространяться вдоль шнура – по нему побежит волна.