Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 39 )

Характерной особенностью волнового процесса является то, что частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия; вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством волн, независимо от их физической природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди волн, встречающихся в природе и технике,  выделяются следующие  их  типы:  а) волны на поверхности жидкости;  б) упругие волны;  в)электромагнитные волны.

Упругими (механическими) волнами называют механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. В зависимости от упругих свойств среды такие волны могут быть продольными и поперечными. Если частицы среды колеблются в направлении распространения колебаний (при деформациях сжатия и растяжения), то волна называется продольной. Если колебания частиц среды перпендикулярны к направлению распространения колебаний (при деформации сдвига), то волна называется поперечной. Очевидно, что в жидкостях и газах могут возникать только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные волны.

На рис. 7.1 приведена схема распространения поперечной волны на интервале времени, равном одному периоду. В начальный момент времени t=0 все частицы занимают положения равновесия и лишь крайняя частица О получила ускорение , направленное вверх. Через четверть периода после начала возмущения точка О достигла своего крайнего смещения вверх, а частица А приобрела ускорение . При после начала движения точка О проходит положение равновесия, смещаясь вниз; частица А достигла крайнего удаления вверх, частица В только получила ускорение, направленное вверх. Через три четверти периода после начала процесса частица О достигла крайнего отклонения вниз, частица А проходит положение равновесия, двигаясь вниз, частица В достигла крайнего смещения вверх, возмущение охватило точку С, которая приобретает ускорение . Наконец, при положения частиц будут следующими: частица О вновь проходит положение равновесия, двигаясь вверх; частица А достигла максимального отклонения вниз; частица В идет через положение равновесия вниз; частица С достигла крайнего смещения вверх; в процесс вовлекается частица D, получающая ускорение, направленное вверх. Таким образом, можно проследить дальнейшее распространение колебаний.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды происходят по гармоническому закону. На рис. 7.2 приведена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси x; другими словами показана зависимость между смещением частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника возмущений для какого-то фиксированного момента времени t.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковых фазах, называется длиной волны , то есть длина волны – это расстояние, на которое определенная фаза колебаний распространяется за один период колебания:

  (7.1)

где v – фазовая скорость волны, то есть скорость распространения данной фазы колебания. Учитывая, что ,  где – частота колебаний, получим:

                                         (7.2)

Упругая волна, распространяясь от источника колебаний, вовлекает в колебательный процесс все новые частицы среды, то есть приобретает пространственный характер. Геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени t дошло возмущение, называется волновым фронтом. В среде можно также выделить геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах; эта совокупность точек образует волновую поверхность. Очевидно, что фронт волны является частным случаем волновой поверхности. В принципе волновые поверхности могут быть любой формы. Если среда изотропна, то колебания от источника распространяются одинаково во все стороны; в этом случае и фронт волны и волновые поверхности представляют собой сферы, центр которых находится в центре колебаний. Такая волна называется сферической. Если волновые поверхности представляют собой совокупностей плоскостей, параллельных друг другу, то волна называется плоской.

Волны, которые переносят в пространстве энергию, называют бегущими волнами.

Уравнение бегущей волны

Рассмотрим бегущую плоскую волну, предполагая, что колебания частиц среды являются гармоническими, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 7.2). Волновой процесс будет известен, если знать значение смещения в каждый момент времени для каждой точки прямой, вдоль которой распространяется волна. Другими словами, необходимо знать смещение точки как функцию времени и координат, то есть .

Пусть точка В среды находится на расстоянии х от источника колебаний О. Если колебания точек среды, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией , то частица В колеблется по тому же закону, но ее колебания отстают по времени от колебаний источника на величину , так как для прохождения волной расстояния х требуется время . Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, будет иметь вид:

                 (7.3)

откуда следует, что волновой процесс – процесс двоякопериодический: функция является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты. Уравнение (7.3) представляет собой уравнение бегущей волны.

Если плоская волна распространяется в направлении, противоположном тому, в котором отсчитывается расстояние х, то уравнение такой волны примет вид:

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию (А=const), имеет вид:

                 (7.4)

где – циклическая частота волны; – начальная фаза колебаний, определяемая выбором начала отсчета х и t; аргумент косинуса (выражение в квадратных скобках) – фаза плоской волны.

Учитывая, что и , получим

где k – волновое число. Волновое число показывает, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном , аналогично тому, как циклическая частота показывает, сколько периодов колебаний укладывается в промежутке времени, равном . Введение понятия волнового числа позволяет записать уравнение (7.4) в более симметричной форме:

                 (7.5)

Найдем вторые производные от по переменным t и х:

или

или

откуда следует

                         (7.6)

Уравнение (7.6) получено для частного случая – для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х. Распространение волнового процесса в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных