Учебно-методический комплекс дисциплины « Механика» для специальности 5В060400 «Физика» учебно-методические материалы (стр. 36 )

                         (7.14)

где s – колеблющаяся величина; – коэффициент затухания колебаний, зависящий от параметров системы; – собственная циклическая частота колебаний (циклическая частота незатухающих колебаний, то есть при ).

В математике решение уравнения (7.14) рассматривается в виде:

                                 (7.15)

где .

Найдем первую и вторую производные от функции (1.30) по времени:

Подставив найденные производные в уравнение (7.14), получим:

          (7.16)

Решение этого уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой функцией. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:

.                  (7.17)

Тогда получаем дифференциальное уравнение

,

решением которого является функция:

Таким образом, с учетом выражения (7.15), решение дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний (в случае малых затуханий, то есть при ) будет иметь вид:

          (7.18)

где – амплитуда затухающих колебаний; – начальная амплитуда. Зависимость при свободных затухающих колебаниях приведена на рис. 7.5. Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

В целом затухание нарушает периодичность процесса, поэтому, строго говоря, к затухающим колебаниям неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то понятием периода можно условно пользоваться для характеристики колебательного процесса. В этом случае период свободных затухающий колебаний с учетом выражения (7.17) будет равен:

где – циклическая частота затухающих колебаний.

Если и – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношение:

называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм:

  (7.19)

называется логарифмическим декрементом затухания, где – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются также понятием добротности Q. Добротность колебательной системы – это безразмерная величина, равная произведению на отношение энергии W(t) колебаний в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T, то есть за один условный период затухающих колебаний:

Так как энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то

          (7.20)

При малых затуханиях , тогда

                  (7.21)

Вынужденные колебания. Явление резонанса

Для того чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать в ней потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего внешнего фактора , изменяющегося, например, по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль играет внешняя вынуждающая сила

                  (7.22)

Таким образом, с учетом (7.22) уравнение движения пружинного маятника запишется в виде

или

                 (7.23)

Уравнение электромагнитных колебаний в колебательном контуре с учетом (6.40) будет иметь вид

  (7.24)

Обобщая (7.23) и (7.24), получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение

  (7.25)

где – циклическая частота внешнего вынуждающего воздействия. Уравнение (7.25) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний.

Решение уравнения (7.25) находится в виде суммы общего решения:

однородного уравнения:

и частного решения неоднородного дифференциального уравнения. Частное решение (7.25) имеет вид (без вывода):

                  (7.26)

где

          (7.27)

                  (7.28)

Таким образом, решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний записывается в виде

  (7.29)

Первое слагаемое (7.29) играет существенную роль только в начальной стадии процесса, то есть при установлении колебаний, до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого выражением (7.27). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими (рис.7.6).

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты . Из формулы (7.27) следует, что амплитуда колебаний имеет максимум, который зависит от значения . Чтобы определить частоту, при которой амплитуда А достигает максимума, нужно найти максимум функции (7.27), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения этой функции. Для этого продифференцируем подкоренное выражение по

и приравняем его нулю:

или

Это условие выполняется при и , или (физический смысл имеет только положительное значение). Следовательно, резонансная циклическая частота – частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения: