Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 11 )

N = Ts/Δt = 2Fmax Ts.

       Определим максимально возможное число выборок в каждом отсчете при наличии шума в канале со средней мощностью Рш = δ2. При средней мощности сигнала  Ps = s2:

L = =.

       Информационная емкость сигнала:

I(S) = 2Fmax Ts log L.  (17.16)

Информационные возможности сигнала возрастают с расширением его спектра и превышением его уровня над уровнем помех.

В этом разделе  метрология сигналов рассматривается, в основном, на уровне понятий и базовых определений, предваряя их более подробное изучение в дальнейших разделах. Это объясняется тем, что при детальном изучении каких-либо характеристик или свойств сигналов их рассмотрение не может выполняться в отрыве от других метрологических характеристик сигналов и требует определенной ориентировки в общей метрологии сигналов, хотя бы на уровне понятий.

17.5. Пространство сигналов

Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линейные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбинации цифровых сигналов, в силу их ограничения по разрядности, в принципе относятся к разряду нелинейных операций, однако последним фактором можно пренебречь, если ошибки, которые вносятся в результаты наблюдений при квантовании отсчетов, достаточно малы по сравнению с шумами зарегистрированной информации.  При дискретизации и квантовании данных непосредственно на входах в ЭВМ это условие выполняется практически всегда, поскольку ошибки определяются разрядностью ЭВМ и программными системами обработки данных, которые обычно не ниже 6-12 десятичных разрядов.

Множества сигналов. Сигналы обычно рассматриваются в составе определенных множеств L, объединенных каким-либо свойством Р, характерным для всех и каждого из сигналов данного множества.  Условное отображение множества:  L = {s; P} – множество всех s, для которых справедливо свойство Р. Определив свойство Р, мы тем самым можем ограничивать сигналы, действующие в каких-либо системах, определенными типами, условиями, границами по параметрам и т. п.

Пример 1.  Множество гармонических сигналов.

L = {s; s(t) = A·cos (ωt+φ),  -∞ < t < ∞}.

Множество содержит гармонические сигналы с произвольными значениями амплитуд, частот и фаз. 

Пример 2.  Множество периодических сигналов.

L(Т) = {s; s(t) = s(t+kT),  -∞ < t < ∞,  k ∈ I}.

Пример 3.  Множество сигналов, ограниченных по амплитуде и длительности.

L(K, T) = {s; |s(t)| ≤ K,  s(t)=0 при |t| > T}.

       Терминология операций с множествами сигналов. Множества сигналов могут образовываться из других (ранее определенных) множеств логическими операциями объединения (индекс объединения - ∪) и пересечения (индекс - ∩):

L = S1 ∪ S2 = {s; s ∈ S1 или s ∈ S2},

L = S1 ∩ S2 = {s; s ∈ S1 и s ∈ S2}.

       Возможно также разбиение множества сигналов на непересекающиеся подмножества, более удобные для обработки, при этом для множества S, разбитого на совокупность подмножеств

{S1, S2, S3, …, SN}, должны выполняться условия:

S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ … ∪ SN,

Sn ∩ Sm = ∅  для  n ≠ m.

       Запись S1 ⊂ S означает, что множество S1 входит в состав множества S, т. е. является подмножеством в составе S.

       Преобразование элементов vi множества V в элементы gi множества G называется отображением (трансформацией, преобразованием) V в G (символьные записи: g = T[v] или  v → g), при этом элементы v называют прообразом множества g, а элементы g – образом множества v.

       Если преобразование выполняется над числами одного множества R (например, x = T[y]), то такое преобразование порождает функциональную зависимость x = f(y).

Если преобразование выполняется над функциями одного и того же множества L (например, f(t) = T[g(t)]), то алгоритм преобразования T[..] называют оператором преобразования  f(t) в g(t).

Преобразование g = T[f(t)] функций f(t) множества F называют функционалом, если результатом преобразования являются числовые значения g множества G. Примерами функционалов являются интегралы функций в определенных пределах.

Преобразование может выполняться функциональными операторами с переводом функций одной переменной, например t, в функции по другой переменной, например ω. Типичным примером функционального оператора является преобразование Фурье. В комплексной форме:

S(ω) = s(t) exp(-jωt) dt.

Пространство сигналов.  Для анализа и обработки информации, которая может быть заключена в сигналах, требуется выделять из множества сигналов сигналы с определенными параметрами, сравнивать сигналы друг с другом, оценивать изменение сигналов при их прохождении через системы обработки данных, и т. п. Это может выполняться только при "помещении" множества сигналов в определенные метрические пространства с заранее оговоренными свойствами и единицами измерений. Так, "квартирное пространство" любого города включает, как минимум, три структурных единицы: названия улиц, номера домов, номера квартир, что и определяет пространство "квартирных сигналов". Но это пространство не является метрическим, так как оно не имеет нулевой точки и единиц измерений, по нему нельзя определить расстояние между двумя "квартирными сигналами". Положение на поверхности Земли любого объекта однозначно определяется по "координатному сигналу" в заранее сформированных метрических координатных пространствах с нулевыми точками и принятыми единицами измерений. Для практического использования определенными структурными ограничениями сформированы также различные пространства картографических проекций, жестко установленная метрология которых позволяет трансформировать информацию из одного пространства в другое, например, более удобное для обработки определенными программами.

Главным условием превращения множество сигналов

L{s1(t), s2(t), …}, которые имеют какие-то общие свойства, в функциональное пространство сигналов является выполнение условия однозначной реализации. Если пространство значений независимой переменной t задано выражением R:=(-∞,+∞), то пространство сигналов LP[R] определяет множество сигналов в этом пространстве, для которых условие однозначной реализации записывается в следующей форме:

|s(t)|p dt < ∞.

       Для анализа сигналов наиболее часто используется гильбертово пространство, сигналы в котором должны удовлетворять условию интегрирования с квадратом:

|s(t)|2 dt < ∞.

       Периодические сигналы обычно рассматриваются в пространстве L2 [0, 2π] одного периода:

|s(t)|2 dt < ∞.

       Интуитивно понятно, что метрические пространства должны иметь определенную систему координат, что позволяет рассматривать любые произвольные сигналы х и у, принадлежащие пространству, в виде векторов, соединяющих начало координат с определенными точками этого пространства, и определять расстояние между этими точками ρ(x, y). Так как расстояние между точками должно быть числовым, а сигналы х и у представляют собой функции, то ρ(x, y) представляет собой функционал, для которого в метрическом пространстве должны быть справедливы следующие аксиомы:

ρ(x, y) ≥ 0;  ρ(x, y) = 0 при х = у, ρ(x, y) =  ρ(y, x), ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)  - неравенство треугольника.

Каждый элемент векторного пространства может отображаться проекциями на координатные оси, а для обработки и преобразований сигналов могут использоваться операции векторной алгебры. Достаточно простые алгебраические взаимосвязи между сигналами характерны для линейных пространств.

Линейное пространство сигналов.  Множество сигналов L образует линейное пространство сигналов,  если для него справедливы следующие аксиомы:

Множество содержит такой нулевой элемент ∅, что для всех сигналов u(t)∈L выполняется равенство u(t)+ ∅ = u(t). Для любых  сигналов u(t) ∈ L и v(t) ∈ L  существует их сумма s(t) = u(t)+v(t), которая также содержится в L. При этом операция суммирования должна быть

- коммутативна:  u(t)+v(t) = v(t)+u(t),

- ассоциативна:  u(t)+(v(t)+x(t)) = (u(t)+v(t))+x(t),

- однородна:  u(t) + (-u(t)) = ∅.

Существует множество скалярных элементов α, на которые может выполняться умножение любого сигнала  s(t) ∈ L, при этом результат умножения является новым сигналом y(t) = αs(t) в том же пространстве, у(t) ∈ L. Операция умножения должна быть

- ассоциативна: 

α(β·s(t)) = αβ·s(t),

- дистрибутивна:

α(u(t)+s(t)) = αu(t)+αs(t),  (α+β)s(t) = αs(t)+βs(t),

- пропорциональна:

1·s(t) = s(t),  0·s(t) = 0.

Пример.  Множество сигналов L состоит из импульсных сигналов произвольной формы с амплитудой не более 10 вольт. Образуют ли эти сигналы линейное пространство?

Нет, не образуют, так как не выполняется, по крайней мере, вторая аксиома линейного пространства (сумма двух сигналов с амплитудой более 5 вольт превышает 10 вольт). Требуются дополнительные структурные ограничения по параметрам сигналов.

Сигналы могут описываться как вещественными, так и комплексными функциями, и линейные пространства также могут быть вещественными или комплексными. Скалярные множества обычно отождествляются с множествами действительных или комплексных чисел, но на них также могут накладываться определенные ограничения. Так, например, в теории связи широко применяется бинарное скалярное множество {0, 1}.