Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 92 )

(f) = X(f)⋅[-j sgn(f) Y(f)] = X(f)⋅(f) ⇔ x(t) *(t).

       Отсутствие коммутативности с преобразованием Фурье:

TF[ТН[x(t)]] ≠ ТН[TF[x(t)]].  (23.167)

       Свойство модуляции: Модулирующие сигналы u(t), как правило, имеют ограниченный спектр, максимальные частоты которого Ω  много меньше значения несущей частоты ωo, при этом:

ТН[u(t)⋅cos(ωot)] = u(t)⋅sin(ωot).  (23.168)

       Для четных функций u(t) это свойство очевидно. При переходе в частотную область:

ТН[u(t)⋅cos(ωo)] ⇔ - j⋅sgn(ω)⋅[U(ω) * (δ(ω+ωo)+δ(ω-ωo))].

       Множитель - j⋅sgn(ω) является знаковой константой по ω и может быть внесен под интеграл свертки и умножен на  (δ(ω+ωo)+δ(ω-ωo)), что, как уже рассматривалось ранее (см. 23.155 – 23.157), при обратном преобразовании Фурье дает u(t)⋅sin(ωot).

       Аналогично можно показать, что

ТН[u(t)⋅sin(ωot)] = - u(t)⋅cos(ωot).  (23.169)

23.23. Вычисление преобразования Гильберта        

Преобразование Гильберта аналоговых сигналов целесообразно выполнять не по формулам линейной свертки с оператором 1/πt, который стремится к  ∞  при t ⇒ 0, а через спектр аналитической функции:

z(t) = x(t) + j⋅(t) ⇔ X(f) + j⋅(f) = Z(f).  (23.170)

       Заменяя в этом выражении  функцию (f) = - j sgn(f)⋅X(f), получаем:

Z(f) = [1+sgn(f)]⋅X(f),  (23.171)

где функция 1+sgn(f) равна 0 при f < 0, 1 при f = 0 и 2 при f > 0, при этом:

Z(f) = ,  (23.172)

т. е. спектр функции z(t) является односторонним и устанавливается непосредственно по спектру функции x(t) при f≥0. Обратное преобразование Фурье функции Z(f) должно давать комплексную функцию z(t), при этом из (23.172) следует:

x(t) = Re [2X(f) exp(j2πft) df],  (23.173)

(t) = Im [2X(f) exp(j2πft) df].  (23.174)

       В дискретной форме, при общем числе N отсчетов функции x(t) с шагом Δt, с шагом по частоте Δf =1/(NΔt):

  X(nΔf) = Δtx(kΔt)⋅exp(-j2πkn/N),  n = 0,1,...,N/2.  (23.175) 

х(kΔt) = Δf⋅Re[Xo+2X(nΔf)⋅exp(j2πkn/N)].  (23.176)

(kΔt) = 2Δf⋅Im[X(nΔf)⋅exp(j2πkn/N)].  (23.177)

Рис. 23.64.

       

  На рис. 23.64 приведен пример преобразования Гильберта, выполненный через частотную область. Естественно, что при реальном использовании преобразования Гильберта выполнять вычисления по (23.176) не требуется.

Оператор дискретного преобразования Гильберта hb(kΔt) ⇐ 1/πt на интервале от - Т до Т с шагом Δt можно получить обратным преобразованием Фурье частотной характеристики Hb(f) (выражение 23.151) в интервале от - fN до fN  (fN=1/2Δt). При Δt=1:

hb(kΔt) =Hb(f) exp(j2πfkΔt) df =j exp(j2πfkΔt) df -j exp(j2πfkΔt)

df = [1/(2πkΔt)]⋅[1-exp(-jπkΔt)-exp(jπkΔt)+1] =

= [1/(πkΔt)]⋅[1-(exp(-jπkΔt)+exp(jπkΔt)/2] =

  = [1/(πkΔt)]⋅(1-cos(πkΔt)) = [2/(πkΔt)] sin2(πkΔt/2).  (23.178)

hb(kΔt) = 2/(πκΔt),  k = ±1, ±3, ±5, ... ,  (23.179)

hb(kΔt) = 0,  k = ±0, ±2, ±4, ... .

       Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления постоянной составляющей оператора равен нулю, а коэффициент усиления дисперсии помех равен 1.

В частотной области при выполнении преобразования Гильберта спектральных функций оператор свертки hb(kΔf)⇐1/πf  не отличается от приведенного для временной области.

24. Вейвлетные преобразования сигналов

24.1. Базисные функции вейвлет-преобразования

       Аналитика вейвлетных преобразований сигналов определяются математической базой разложения сигналов, которая аналогична преобразованиям Фурье. Основной отличительной особенностью вейвлет-преобразований является новый базис разложения сигналов - вейвлетные функции. Свойства вейвлетов принципиально важны как для самой возможности разложения сигналов по единичным вейвлетным функциям, так и для целенаправленных действий над вейвлетными спектрами сигналов, в том числе с последующей реконструкцией сигналов по обработанным вейвлетным спектрам.

Вейвлеты могут быть ортогональными, полуортогональными, биортогональными. Вейвлетные функции могут быть симметричными, асимметричными и несимметричными, с компактной областью определения и не имеющие таковой, а также иметь различную степень гладкости. Некоторые функции имеют аналитическое выражение, другие – быстрый алгоритм вычисления вейвлет-преобразования. Для практики желательно было бы иметь ортогональные симметричные и асимметричные вейвлеты, но таких идеальных вейвлетов не существует. Наибольшее применение находят биортогональные вейвлеты.

       Базисными функциями вейвлет-преобразований могут быть самые различные функции с компактным носителем - модулированные импульсами синусоиды, функции со скачками уровня и т. п. Они обеспечивает хорошее отображение и анализ сигналов с локальными особенностями, в том числе со скачками, разрывами и перепадами значений с большой крутизной.

       Было бы желательно иметь такое вейвлет-преобразование сигналов, которое обеспечивало полную информационную эквивалентность вейвлетного спектра сигналов временному представлению и однозначность декомпозиции - реконструкции сигналов. Однако это возможно только при использовании ортогональных и биортогональных вейвлетов. Для качественного анализа сигналов и локальных особенностей в сигналах может применяться более обширная номенклатура вейвлетных функций, которые хотя и не обеспечивают реконструкцию сигналов, но позволяют оценить информационное содержание сигналов и динамику изменения этой информации.

       Определение вейвлета.  К вейвлетам относятся локализованные функции, которые конструируются  из одного материнского вейвлета ψ(t) (или по любой другой независимой переменной) путем операций сдвига по аргументу (b) и масштабного изменения (а):

ψab(t) = (1/) ψ((t-b)/a),  (a, b)∈R,  ψ(t)∈L2(R).

где множитель (1/) обеспечивает независимость нормы функций от масштабного числа 'a'.

Непрерывное  вейвлет-преобразование сигнала s(t)∈L2(R), которое применяется для качественного частотно-временного анализа, по смыслу соответствует преобразованию Фурье с заменой гармонического базиса exp(-jωt) на вейвлетный ψ((t-b)/a):

С(a, b) = ⟨s(t), ψab(t)⟩ = (1/)s(t) ψ((t-b)/a) dt,  (a, b)∈R,  a≠0.

Вейвлетный масштабно-временной спектр С(a, b) в отличие от фурье-спектра является функцией двух аргументов: масштаба вейвлета 'а' (в единицах, обратных частоте), и временного смещения вейвлета по сигналу 'b' (в единицах времени), при этом параметры 'а' и  'b' могут принимать любые значения в пределах областей их определения.

Рис. 24.1. Вейвлеты Mhat и Wave.

       На рис. 24.1 приведены примеры простейших неортогональных вейвлетов четного (Mhat) и нечетного (Wave) типов.

Для количественных методов анализа в качестве вейвлетных базисов можно использовать любые локализованные функции ψ(t), если для них существуют функции-двойники ψ#(t), такие, что семейства {ψab(t)} и {ψ#ab(t)} могут образовывать парные базисы функционального пространства L2(R). Вейвлеты, определенные таким образом, позволяют представить любую произвольную функцию в пространстве L2(R) в виде ряда:

s(t) = С(a, b) ψ#ab(t),  (a, b)∈I,