Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 28 )

4. Треугольные импульсы длительностью r по основанию с площадью, равной Р, могут быть получены сверткой двух прямоугольных импульсов длительностью r/2 с амплитудой 2Р/r, откуда:

s(t) = Пr/2(t) * Пr/2(t) ⇔ S(ω) = Пr/2(ω)Пr/2(ω),

S(ω) = P sinc2(ωr/4).

Спектр треугольного импульса также имеет лепестковую структуру с шириной лепестков 4π/r. Соответственно, база треугольного импульса равна 4π. Спектральная функция за счет квадратирования интегрального синуса имеет только положительные значения. Аналогично можно получить и спектры трапеций (при разной длительности П-импульсов).

Примеры импульсов и сопоставление формы их нормированных спектров  (делением значений S(ω) на площадь импульсов - значение  S(0)) приведены на рис. 18.40.

 

Рис. 18.40. Форма и спектры импульсов.

Заметим, что обратная операция – аппроксимация спектра сигнала произведением спектров простых сигналов с последующим переводом спектров в координатную область, позволяет представить сложный исходный сигнал в виде свертки более простых сигналов.

5. Экспоненциальный импульс  s(t)= U exp(-at), t ≥ 0, a> 0. Функция exp(-at) только условно может быть названа импульсом, т. к. определена и при t ⇒  ∞, но при а > 0 она достаточно быстро затухает. Преобразование Фурье экспоненциального импульса, как произвольного одностороннего сигнала, имеет действительную и мнимую части:

S(ω) = Uexp(-(a+jω)t) dt = U/(a+jω).  (18.61)

       Функция S(ω) бесконечна по частоте. Форма импульса, модуль и аргумент его спектра (фазовая характеристика в градусах) приведены на рис. 18.41.

 

Рис. 18.41. Форма и спектр экспоненциального импульса.

6. Функции Лапласа и Гаусса. Для функции Лапласа (экспонента по модулю t) имеем следующее преобразование:

  Uexp(-a|t|) ⇔ 2aU/(a2+ω2), a>0.  (18.62)

Форма функции (при U=1, а=0.1) и ее вещественный спектр (функция четная и представлена только действительной частью) приведены на рис. 18.42.

 

Рис. 18.42. Функция Лапласа 

Преобразование для центрированной функции Гаусса:

U exp(-pt2) ⇔ Uexp(-ω2/4π).  (18.63)

       Спектр центрированной функции Гаусса - также функция Гаусса. Форма функции (при U=1, а=0.0.003) и ее вещественный спектр приведены на рис. 18.43.

  Если эффективную длительность и ширину спектра гауссовых функций определять по уровню 1/е от максимума (τ=2/а, Δω=a), то база сигнала равна 4.

Рис. 18.43. Функция Гаусса.

Сравнивая на рисунках 18.42 и 18.43 функции Лапласа и Гаусса и их спектры (с учетом масштаба последних), нетрудно заметить, что чем более плавно изменяются значения сигнала (меньше его дифференциал), тем более низкочастотным является спектр сигнала.

7. Гармонические колебания.  Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функций. Гармонические, а в общем случае и все периодические функции в пространстве R(-∞, ∞), не обладают условием абсолютной интегрируемости. Спектральные плотности таких сигналов обычно определяются с использованием δ-функций.

Допустим, имеем простейший периодический сигнал:

s(t) = Ao cos ωot.

       Разложим сигнал по формуле Эйлера и выполним преобразование Фурье, не обращая внимания на неинтегрируемость функции:

S(ω) =s(t) exp(-jωt) dt = (Ao/2)[exp(jωot) + exp(-jωot)] exp(-jωt) dt =

= (Ao/2)exp(-j(ω-ωο)t) dt + (Ao/2)exp(j(ω+ωο)t) dt.

       Но интегралы в этом выражении представляют собой δ-функции в частотной области (см. формулу (18.56)) с бесконечно большими значениями спектральной плотности на частотах ±ωo. Следовательно:

Ao cos ωot ⇔ (Ao/2) [δ(ω-ωο) + δ(ω+ωο)].  (18.64)

При обратном преобразовании Фурье соответственно получаем:

(Ao/2) δ(ω-ωo) ⇔ (Ao/2) exp(-jωot),

(Ao/2) δ(ω+ωo) ⇔ (Ao/2) exp(jωot),

(Ao/2) [δ(ω-ωo)+δ(ω+ωo)] ⇔ cos(ωot).

Таким образом, спектральная плотность косинусоиды вещественна и представляет собой два импульса Дирака, расположенных симметрично относительно ω = 0 на частотах -ωo и ωo (рис. 18.44, с условной нормировкой по амплитуде).

Рис. 18.44.

При наличии во входном сигнале определенного сдвига фазы (ωo+φo) выражение (18.64) дополняется соответствующими множителями:

Ao cos (ωo+φo)t ⇔ (Ao/2) [exp(jφο) δ(ω-ωο) + exp(-jφο) δ(ω+ωο)].  (18.65)

8. Радиоимпульс. Умножение сигнала на гармоническую функцию заполняет сигнал гармонической частотой и формирует радиоимпульс. Без учета начальной фазы гармоники:

s(t) = u(t) cos(ωot).

Спектр радиоимпульса:

S(ω) =u(t) cos(ωot) exp(-jωt) dt =u(t) Ѕ[exp(jωot)+exp(-jωot)] exp(-jωt) dt =

= Ѕu(t) exp(jωot) exp(-jωt) dt + Ѕu(t) exp(-jωot) exp(-jωt) dt =

= Ѕ U(ω) exp(jωot) + Ѕ U(ω) exp(-jωot).  (18.66)

       Спектры сигналов обычно низкочастотные и сосредоточены в центре частотной оси. Частота гармоники заполнения, как правило, много больше максимальной частоты гармоник сигнала. Из (18.66) следует, что спектр сигнала раздваивается (с коэффициентом Ѕ) и смещается влево и вправо по оси частот на частоты ±ωo. Особенно наглядно это видно для четных сигналов и приведено на рис. 18.45.

Рис. 18.45. Радиоимпульс и его амплитудный спектр.

18.8. Введение в энергетические спектры сигналов

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала мгновенная мощность по определению равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов - квадрату функции амплитуд. Энергия сигнала, также по определению, равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала.

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Частотное представление применяется не только для спектрального анализа сигналов, но и для упрощения вычислений энергии сигналов и их корреляционных характеристик.

Как уже рассматривалось ранее, для произвольного сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) - вещественные функции, мгновенная мощность сигнала (плотность распределения энергии) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = a2(t)+b2(t) = |s(t)|2.

Энергия сигнала равна интегралу от мощности по всему интервалу существования сигнала. В пределе:

Еs =w(t)dt =|s(t)|2dt.

По существу, мгновенная мощность является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию, выделяемую на определенных интервалах ненулевой длины:

w(τ) = (1/Δt)|s(t)|2dt.

Сигнал s(t) изучается, как правило, на определенном интервале Т (для периодических сигналов - в пределах одного периода Т), при этом средняя мощность сигнала:

WT(τ) = (1/T)w(t) dt = (1/T)|s(t)|2 dt.

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала производится по формуле: