Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 66 )

sa() = s() f(-),  (22.37)

где f(..) – интерполяционная функция:

  f(-) = exp(jT (-)) d.  (22.38)

Все приведенные векторные уравнения могут быть обобщены на Р-мерные функции с заменой константы 4π2 там, где она встречается, на (2π)P.

Прямоугольный и гексагональный растры дискретизации. В принципе, сигнал с ограниченным спектром можно представить по различным растрам дискретизации. Выбор растра обычно производят из условия минимальной плотности отсчетов на плоскости, т. е. минимизацией величины |det|, при котором обеспечивается отсутствие наложений для частот анализируемых сигналов. На практике для двумерных сигналов используют, как правило, только два варианта растров дискретизации - прямоугольный и гексагональный. Прямоугольному варианту соответствуют диагональные матрицы дискретизации и периодичности (22.33-34). Для гексагональной дискретизации, пример которой приведен на рис. 22.10,  в частном случае при Δt = Δх каждый отсчет располагается на равном расстоянии от шести ближайших отсчетов, при этом матрицы дискретизации:

,  .

Допустим, имеем сигнал с частотным спектром, ограниченным круговой областью частот ωr:

Sa(ωх,ωу) = 0  при ωх2+ωу2 > ωr2.

Круговая область частот вписывается без перекрытий в квадрат со стороной 2ωr или в шестиугольник со стороной 2ωr/. Матрицы дискретизации:

пр =,                det = π2/ωr2,                

гекс =,  det = 2π2/(ωr2).

Поскольку плотность отсчетов пропорциональна 1/|det|, то отсюда следует, что для представления одного и того же сигнала гексагональный растр дискретизации требует на 13.4% меньше отсчетов по сравнению с прямоугольным. Эффективность "гексагональной" матрицы возрастает при увеличении размерности сигнала. Так, при 4-мерном сигнале для "гексагональной" матрицы требуется в 2 раза меньше отсчетов, чем для "прямоугольной".

22.5. Многомерный спектральный анализ

Периодические последовательности. Двумерная последовательность s(n, m) прямоугольно периодична, если

sп(n, m) = s(n, n+M) = s(n+N, m)

для всех (n, m) при целочисленных значениях N и M. Минимальные значения N и M, при которых выполняется данное равенство, называют горизонтальным и вертикальным периодами функции sп(..), которыми ограничивается прямоугольная область RN, M главного периода, содержащая NM независимых отсчетов:  0nN-1, 0mM-1.

Последовательность sп(n, m) с периодами N и M можно представить в виде конечной суммы (ряда Фурье) комплексных синусоид с кратными частотами:

sп(n, m) =(1/NM)Sп(k, l) exp(j2πnk/N+j2πml/M).  (22.39)

Sп(k, l) =sп(n, m) exp(-j2πnk/N-j2πml/M).  (22.40)

  Пример.  Разложить в ряд Фурье периодический сигнал:

sп(n, m) = δ(n, m),  0n4, 0m2

  (единичные импульсы с периодом: N = 5, M = 3).

  Sп(k, l) =δ(n, m) exp(-j2πnk/5-j2πml/3) = 1 для всех k и l, т. е. равномерная частотная характеристика в главном диапазоне. Сам сигнал может  быть записан в виде двумерного ряда Фурье:

sп(n, m) =(1/20)exp(j2πnk/5+j2πml/3).

Конечные последовательности. Если s(n, m) представляет собой последовательность конечной протяженности, имеющей опорную область RN, M, то периодическую последовательность sп(n, m) с главным периодом RN, M можно сформировать периодическим продолжением s(n, m):

                               sп(n, m) = s(n-aN, m-bM),

                               s(n, m) = sп(n, m),  (n, m) < RN, M.

                       = 0,  в остальных случаях.

Отсюда следует, что любой финитный сигнал может быть полностью определен своим периодическим продолжением и опорной областью.

Аналогично можно записать и для частотной области:

                               Sп(k, l) = Σa Σb S(k-aN, l-bM).

                               S(k, l) = Sп(k, l),  0kN,  0lM

                                = 0,  в остальных случаях.

Отсюда значения s(n, m) и S(k, l) можно вычислить с использованием выражений (22.39-40) путем последовательности операций:

s(n, m)  ⇒ sп(n, m) ⇔ Sп(k, l)  ⇒ S(k, l).

Практически это означает, что для получения ДПФ последовательности  конечной  протяженности  достаточно  из выражений (22.39-40) для рядов Фурье убрать знак периодичности, при этом следует помнить, что вычисление отсчетов s(..) вне опорной области приведет к вычислению значений не отсчетов s(..), а отсчетов sп(..) периодического продолжения сигнала s(..).

Таким образом:

1. Дискретизация сигнала в пространственной области вызывает периодизацию частотного спектра сигнала.

2. Дискретизация частотного спектра сигнала вызывает периодизацию его пространственного представления.

3. Прямое и обратное ДПФ сигнала ограниченной протяженности автоматически означает периодизацию как его спектра, так и его пространственного представления.

4. Сигналы, ограниченные в пространстве, можно точно отобразить отсчетами их фурье-преобразования.

5. Частотное представление сигнала с ограниченным спектром обратным фурье-преобразованием может быть точно переведено в пространственную область.

6. Ограниченность как пространственного сигнала, так и его спектра является обязательным условием корректного ДПФ, т. к. в противном случае периодизация сигнала может привести к искажению его спектрального и пространственного представления.