Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 96 )

В качестве пространства сигналов будем рассматривать L2(R) – пространство функций s(t) с конечной энергией.  В этом пространстве определено скалярное произведение и норма функций:

⟨s(t), g(t)⟩ = s(t) g*(t),  ||s(t)|| = .

Базисом в пространстве V ⊂ L2(R) называется такая система функций {vn(t)}, что любая функция v(t) ∈ V единственным образом  записывается в виде v(t)=cnvn(t). Базис называется ортонормированным, если ⟨vi(t), vj(t)⟩ = δij. В этом случае

cn = ⟨v(t), vn(t)⟩.

Под кратномасштабным анализом понимается описание пространства L2(R)  через иерархические вложенные подпространства Vm ⊂ L2(R), m = 0, ±1, ±2, …, которые не пересекаются и объединение которых в пределе дает L2(R). Система подпространств должна удовлетворять следующим условиям.

1. Условие вложенности: Vm ⊂ Vm+1.

Все пространство сигналов L2(R) в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней m декомпозиции сигнала:

…⊂ V-1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂…⊂ Vm ⊂ Vm+1 ….

"Размеры" подпространств непрерывно расширяются по мере роста значения m, а объединение всех подпространств в пределе дает пространство L2(R).

2. Условие полноты и плотности разбиения:        

Vm = L2(R).  (24.22)

3. Условие ортогональности подпространств:        

Vm  = {0}.  (24.23)

       4. Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:

v(t) ∈ Vm ⇔ v(t+1) ∈ Vm.

5. Для любой функции v(t)∈Vm ее масштабное преобразование по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:

v(t) ∈  Vm ⬄ v(2t) ∈  Vm+1,  v(t) ∈  Vm ⬄ v(t/2) ∈ Vm-1  (24.24)

       6. Для пространства V0 существует phi-функция φ(t) ∈  V0, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства V0:

φ0,k = φ(t-k),  k ∈  I  (k=0, ±1, ±2, ...).  (24.25)

Функция φ(t) называется скейлинг-функцией (scaling function). Условие нормирования скейлинг-функции:

φ(t) dt = 1.

Из этих условий следует, что если подпространство V0 имеет ортонормированный базис φ0,k, то и все остальные подпространства также имеют ортонормированные базисы, которые образуются масштабным преобразованием базиса φ0,k:

φm, k(t) = аm/2 φ(аmt-k),  m, k ∈  I.  (24.26)

       Стандартное значение параметра 'а' в кратномасштабном анализе равно 2. Так, например, если φ0,k(t)=1 на интервале [0,1) и φ0,k(t)=0 вне этого интервала, то целочисленные сдвиги этой функции попарно ортогональны, и пространство V0 состоит из функций, имеющих постоянные значения на интервалах вида [k, k+1), V1 – из функций, постоянных на интервалах [k/2, (k+1)/2), – из функций, постоянных на интервалах [2k, 2k+1), и т. д.

Все условия в совокупности позволяют разложить произвольный сигнал s(t) ∈  L2(R) по подпространствам Vm, т. е. на множество последовательных разномасштабных и ортогональных друг другу функций vm(t) ∈  Vm, объединение которых дает исходный сигнал s(t), или аппроксимирует сигнал с определенной точностью в зависимости от ограничения количества значений масштабирующего коэффициента m (и, соответственно, количества подпространств Vm). Функции vm(t) являются ортогональными проекциями сигнала s(t) на подпространства Vm. Отсюда появляется возможность анализа функции или сигнала на различных уровнях разрешения, или масштаба. Переменная m называется масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если значение m мало, то функция vm(t) есть грубая  аппроксимация s(t), в которой отсутствуют детали. При увеличении значений m точность аппроксимации повышается. 

       Кратность КМА, равную 2, в принципе, можно заменить любым целым числом, большим 1, но использование двоичной кратности оптимально и позволяет использовать быстрое вейвлет-преобразование. 

Масштабирующая функция. Для того чтобы задать КМА, достаточно знать только одно из подпространств Vm, остальные определятся уравнением (24.26).  Допустим, что это подпространство V0, состоящее из сигналов, заданных "с разрешением 1". Тогда в пространстве Vm задаются сигналы с разрешением 2m, и оно отличается от V0 только перемасштабированием базисной функции в соответствии с (24.26). Так, если пространство V0 имеет скейлинг-функцию φ0(t), то соответствующее уравнение для скейлинг-функции φ1(t) пространства V1 определяется выражением φ(2t-k).

Поскольку V0 ⊂  V1, то функцию φ0(t) можно представить линейной комбинацией сдвигов функции φ1(t) (c учетом ее более компактного носителя) с определенными весовыми коэффициентами перемасштабирования hk. Так, для скейлинг-функции Хаара, имеющей прямоугольное окно, каждая функция φm-1(t) образуется суммой двух последовательных функций φm(t) с соответствующим коэффициентом для сохранения единичной нормы. В общем случае, носитель функции может иметь произвольный размер с числом отсчетов 2М (в единицах k), при этом уравнение линейной связи базисных функций пространств, которое обычно называют функциональным уравнением масштабирования (уравнение рескейлинга), записывается в следующем виде:

φ(t/2) = hk φ(t-k),  (24.27)

или, в эквивалентной форме:

φ(t) = hk φ(2t-k).  (24.28)

Это уравнение называется масштабирующим. Решение этого уравнения и дает скейлинг-функцию, которую иногда называют "отцовским" вейвлетом.

Значения hk определяются из условия для ортонормальных базисов:

hk =φ(t) φ*(2t-k) dt.  (24.29)

При дискретных значениях параметров сдвига масштабирующий вейвлет также дискретен и при задании функции φ(t) на конечном интервале имеет конечное число коэффициентов hk, отличных от нуля.  Условие нормировки масштабирующих коэффициентов:

φ(t) dt = 1,  (24.30)

откуда следует:

(hk)2 = 1.  (24.31)

Простейший и самый короткий вейвлет соответствует M=1. Так, для скейлинг-функции Наара при определении коэффициентов hk уравнение рескейлинга (24.27) отображает растяжение вдвое исходного интервала более высокого уровня, число ненулевых коэффициентов hk равно 2М = 2, при этом, с учетом коэффициента нормировки , значения коэффициентов h0= h1 = 1/. Подставляя значения коэффициентов в (24.27), получаем:

φ(t/2) = φ(t) + φ(t-1).

       Решение этого функционального уравнения:

φ(t) = θ(t) + θ(1-t),

где θ(t) – функция Хевисайда: θ(t) = 1 при t ≥ 0,  θ(t) = 0 при t < 0.

Из совокупности исходных условий кратномасштабного анализа и уравнения (24.26) следует, что перевод сигнала из пространства Vm+1 с более высоким разрешением в пространство Vm, по существу, представляет собой нормированную децимацию сигнала - двукратное прореживание, с соответствующим уменьшением в 2 раза числа отсчетов сигнала. Это эквивалентно низкочастотной фильтрации сигналов vm+1(k)∈Vm+1 оператором hk с частотой среза, равной половине частоты Найквиста сигналов vm+1(k), с автоматическим сокращением (за счет прореживания) главного частотного диапазона децимированного сигнала vm(k) в 2 раза.

Рис. 24.29.

На рис. 24.29 приведено отображение такой операции в частотной области представления пространств Vm(ω), которое имеет вполне конкретный физический смысл разделения спектров сигналов (и самих сигналов при их восстановлении из спектров) на низкочастотную Vm-1(ω) и высокочастотную Wm-1 части. 

Для исключения потерь высокочастотной информации, которая может потребоваться при восстановлении сигнала, она должна "переводиться" и сохраняться в новые подпространства Wm, ортогональные подпространствам Vm, такие, что

Vm+1 = Vm ⊕ Wm.  (24.32)

Подпространства Wm называются детализирующими в том смысле, что именно они содержат ту дополнительную информацию (не пересекающуюся с пространством Vm), необходимую для повышения уровня разрешения сигнала с Vm на Vm+1 при его восстановлении.

Рис. 24.30.

Этот процесс нагляднее рассматривать в обратном порядке, как это показано на рис. 24.30. Так как наиболее детальный уровень разрешения сигнала соответствует максимальным значениям m (при  m ⇒ ∞ сигнал становится непрерывным), то разложение сигнала по подпространствам начинается с максимальных значений m. На каждом цикле разделения, при переходе из пространства Vm+1 в пространство Vm, от пространства Vm+1 отделяется подпространство Wm, в которое отфильтровывается высокочастотная информация пространства Vm+1, а остающаяся информация более "грубого" разрешения перемещается в пространство Vm и представляет собой аппроксимацию данных пространства Vm+1. В пределе, с учетом свойства ортогональности пространств: