Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 99 )

s(k) → sh(k) = hd(n) ③ s(k-n) → 2↓ → C(m) = sh(2k),

  s(k) → sg(k) = gd(n) ③ s(k-n) → 2↓ → D(m) = sg(2k).  (24.59)

       Однако точное восстановление сигналов по формулам (24.57, 24.58) возможно только для взаимно ортогональных фильтров. Для ограниченных перекрывающихся по спектру фильтров для постановления сигналов необходимы парные к ним фильтры реконструкции, компенсирующие возможные искажения восстановления. Для упрощения выражений для числовых рядов перейдем в z-область представления сигналов.

Hd(z) = hd(n) zn,  Gd(z) = gd(n) zn,  S(z) = sd(n) zn,

где z = exp(-jω) – комплексная переменная.

       Отфильтрованные низкочастотный и высокочастотный сигналы:

Cd(z) = Hd(z) S(z),  Dd(z) = Gd(z) S(z).  (24.60) 

       Децимация сигналов в z-области выполняется простыми выражениями:

C(z2) = 0.5 (Cd(z) + Cd(-z)),  D(z2) = 0.5 (Dd(z) + Dd(-z)).  (24.61)

       Обозначим фильтры реконструкции сигналов индексами r. Уравнение реконструкции:

S(z) = 2[Hr(z) C(z2) + Gr(z) D(z2)].  (24.62)

       Подставляя в это выражение функции (24.61) и (24.60), получаем:

S(z) = [Hr(z)Hd(z)+Gr(z)Gd(z)]S(z)] + [Hr(z)Hd(-z)+Gr(z)Gd(-z)]S(-z)].  (24.63)

       Отсюда следует, что искомые фильтры должны удовлетворять системе уравнений:

  Hr(z)Hd(z)+Gr(z)Gd(z) = 1, 

  Hr(z)Hd(-z)+Gr(z)Gd(-z) = 0.  (24.64)

       Решение системы существует, если определитель отличен от нуля всюду на единичной окружности z=exp(-jω):

  Hd(z)Cd(-z) - Hd(-z)Gd(z) ≠ 0.

24.9. Ортогональные  и биортогональные вейвлеты

       Коэффициенты вейвлета. Значения коэффициентов hk и gk в рамках КМА определяются на основании общих свойств скейлинг-функций и вейвлетов. Уравнения функций:

φ(t) =hk φ(2t-k),  ψ(t) =gk φ(2t-k).

       Из свойства ортогональности масштабных функций следует первое уравнение на значения коэффициентов hk:

φ(t) φ(t-х) dt = δх,  hk hk+2х = δх.  (24.65)

       Из условий нормировки скейлинг-функции следует второе уравнение:

φ(t) dt = 1.  hk = .  (24.66)

Из ортогональности вейвлетных и масштабных функций следует уравнение, решением которого являются значения коэффициентов gk:

ψ(t) φ(t-n) dt = 0.  hk gk+2х = 0.  (24.67)

gk = (-1)k h2M-1-k.  (24.68)

Точность и масштабная разрешающая способность аппроксимации анализируемых функций вейвлетами зависит от их гладкости, т. е. от порядка дифференцируемости. При использовании вейвлет-преобразования для сжатия информации (отбрасыванием малозначимых коэффициентов разложения) вейвлеты с высокой гладкостью обеспечивают более точную реконструкцию сигналов. Для обеспечения знакопеременности и заданной гладкости до степени М-1 вейвлеты должны быть ортогональны полиномам соответствующих степеней:

  tm ψ(t) dt = 0,  m = 0, 1,…, M-1,  km gk = 0.  (24.69)

(-1)k km hk = 0.  (24.70)

       Пример расчета коэффициентов выполним при М=2.

       Запишем уравнения (24.65, 66 и 70) в явном виде:

                       h0h2 + h1h3 = 0,        h0 + h1 + h2 + h3 = ,

                       h0 - h1 + h2 - h3 = 0,  - h1 + 2h2 - 3h3 = 0.

Решение этой системы уравнений:

  h0 = 2-3/2 – h3,        h1 = 2-1/2 – h3,  (24.71)

h2 = 2-3/2 + h3,        h3 = = 2-5/2 (1 ±).

Примем для коэффициента h3 знак минус в скобках, при этом:

h0 = 2-5/2 (1+) = 0.483,        h1 = 2-5/2 (3 +) = 0.837,

h2 = 2-5/2 (3 -) = 0.224,        h3 = = 2-5/2 (1 -) = -0.129.

Соответственно, значения коэффициентов gk, вычисленные по (24.68):

g0 = -0.129,        g1 = -0.224,        g2 = 0.837,        g3 = -0.483.

Спектры коэффициентов hk и gk приведены на рис. 24.33.

Рис. 24.33.

       Из рисунка 24.33 можно видеть, что спектры коэффициенты hk и gk представляют собой передаточные функции односторонних согласованных цифровых фильтров, низкочастотного и высокочастотного соответственно.

Выбор знака в (24.71) для h3 несколько изменяет форму вейвлета, особенно для вейвлетов более высокого порядка. При повышении порядка гладкость вейвлета повышается и, как правило, несколько увеличивается область его определения (2М-1).

Вейвлет Добеши. Существуют семейства ортогональных вейвлетов, которые вообще не имеют аналитического выражения и определяются только фильтрами. К ним относятся вейвлеты Добеши. Скейлинг-функции и вейвлеты Добеши – это непрерывные функции, не тождественные нулю и недифференцируемые на конечном отрезке. Вычисленные выше при M=2 коэффициенты hk и gk определяют простейший вейвлет второго порядка D2 из семейства ортонормальных вейвлетов Добеши, приведенный на рис. 24.34.

Рис. 24.34.

Область задания вейвлетов Добеши шире, чем вейвлетов Хаара, но при этом они обеспечивают при вейвлет-преобразовании большее количество малозначимых коэффициентов разложения и, при отбрасывании последних, более сильное сжатие данных.

Вид скейлинг-функции и вейвлета Добеши вычисляются методом итераций (можно посмотреть в Matlab), а в практических приложениях используются только вейвлет-коэффициенты hk и gk без вычисления конкретной формы вейвлетов.

Рис. 24.35.

На рис. 24.35 приведены три вектора коэффициентов Добеши из системы Matlab (db2, db4 и db8) и спектры коэффициентов. Как видно из рисунка, по мере увеличения порядка векторов крутизна среза их частотных характеристик увеличивается, а, соответственно, качество разложения сигналов и их реконструкции также будут улучшаться.

За исключением вейвлетов Хаара, все вещественные ортогональные вейвлеты асимметричны. Наиболее близкую к симметричной форму имеет вейвлет Коифлетса.

Биортогональные вейвлеты. Требование ортогональности вейвлетного базиса является сильным ограничением. Например, невозможно построить ортонормированный базис для вейвлетов с гладким симметричным носителем. Для обеспечения симметрии при точной реконструкции сигналов применяются биортогональные вейвлеты. Для вейвлетов ψm, k(t) с базисом Рисса можно определить дуальный вейвлет ψ#m, k(t), который образует биортогональную пару с вейвлетом ψm, k(t), удовлетворяющую требованию ортогональности их скалярного произведения:

⟨ψm, k(t), ψ#m, k(t)⟩ = δm, k.

       При использовании биортогональной пары декомпозиция сигналов может производиться вейвлетом ψm, k(t), а реконструкция парным вейвлетом  ψ#m, k(t), или наоборот. Разложение функций с биортогональными вейвлетами может производиться в двух эквивалентных формах:

s(t) =⟨s(t), ψ#m, k(t)⟩ ψm, k.  (24.72)

s(t) =⟨s(t), ψm, k(t)⟩ ψ#m, k.  (24.73)

       Свойства регулярности биортогональных вейвлетов могут заметно отличаться. Если один из них обладает гладкостью порядка n, то дуальный ему вейвлет может иметь, по крайней мере, n нулевых моментов. Большое число нулевых моментов дает хорошие результаты при сжатии информации, а большая степень гладкости вейвлета обеспечивает более точную реконструкцию сигналов. При этом оба вейвлета можно выполнить симметричными.