Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 52 )

  cy(t) = ca2t = a2ct = y(сt). Система однородна.  И в целом  линейна.

  2. Система y(t) = at2.  y(t1) = at12,  y(t2) = at22,  y(ct) = a(ct)2 = ac2t2.

  y(t1+t2) = a(t1+t2)2 ≠ y(t1)+y(t2)= at12+at22.  Система не аддитивна.

  с y(t) = с at2 ≠ y(сt) = ac2t2. Система неоднородна.  И в целом  нелинейна.

При программной реализации линейных систем на ЭВМ особых затруднений с обеспечением линейности в разумных пределах значений входных и выходных сигналов, как правило, не возникает. При физической (аппаратной) реализации систем обработки данных диапазон входных и/или выходных сигналов, в котором обеспечивается линейность преобразования сигналов, всегда ограничен и должен быть специально оговорен в технической документации или методической инструкции. 

Основные системные операции.  К базовым линейным операциям, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, относятся операции скалярного умножения, сдвига и сложения сигналов:

                       y(t) = b × x(t),

                       y(t) = x(t-Δt),

                       y(t) = a(t)+b(t).

Графическое отображение операций (цифровая форма) приведено на рис. 21.1.

Рис. 21.1. Графика системных операций

Отметим, что операции сложения и умножения являются линейными только для аналоговых и дискретных сигналов. В случае цифровых сигналов они линейны относительно самих цифровых сигналов, но если последние - результат операции амплитудно-цифрового преобразования, то сложение и умножение не может считаться линейным абсолютно точно по отношению к исходным сигналам.

Для систем, с размерностью 2 и более существует также еще одна базовая операция, которая называется операцией пространственного маскирования, которая может рассматриваться как обобщение скалярного умножения. Так, для двумерных систем:

z(x, y) = c(x, y)⋅u(x, y),

где u(x, y) – двумерный входной сигнал, c(x, y) – пространственная маска постоянных (весовых) коэффициентов. Пространственное маскирование представляет собой поэлементное произведение значений сигнала с коэффициентами маски.

Инвариантность систем к сдвигу. Система называется инвариантной к сдвигу  (инвариантной во времени, а равно и по любым другим аргументам), если сдвиг входного сигнала по аргументам вызывает соответствующий сдвиг выходного сигнала:

s(x, t) = T[a(x, t)],  T[a(x-Δx, t-Δt)] = s(x-Δx, t-Δt).

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами систем и не определяют друг друга. Так, например, операция квадратирования сигнала (возведения в квадрат всех значений сигнала) инвариантна к сдвигу, но нелинейна.

В теории анализа и обработки данных основное место занимают системы, линейные и инвариантные к сдвигу (ЛИС - системы). Они обладают достаточно широкими практическими возможностями при относительной простоте математического аппарата. В дальнейшем, если это специально не оговаривается, будем иметь в виду именно такие системы.

Преимущество, которое отдается ЛИС - системам в методах обработки информации, базируется на возможности разложения входного сигнала любой, сколь угодно сложной формы, на составляющие простейших форм, отклик системы на которые известен и хорошо изучен, с последующим вычислением выходного сигнала в виде суммы откликов на все составляющие входного сигнала. В качестве простейших форм разложения сигналов используются, как правило, единичные импульсы и гармонические составляющие. Первая применяется при представлении сигнала в динамической форме и использует преобразование свертки, вторая - частотное представление сигнала и преобразование Фурье.

       Другой важной особенностью ЛИС - систем является то, что любые их комбинации также являются ЛИС - системами, а любую сложную ЛИС - систему можно разложить на комбинации простых систем. Так, например, при последовательном (каскадном) соединении систем, когда выходной сигнал одной системы служит входным сигналом для второй и т. д., образуемая система в целом также является ЛИС - системой, если линейны и инвариантны к сдвигу все системы, в нее входящие, при этом по отношению к общей системной операции преобразования порядок соединения входящих в нее систем значения не имеет.

Математическая модель системы задает связь физических (программных) элементов, образующих техническое устройство, способное воспринимать внешнее воздействие s(t) и формировать выходную величину y(t), определенным образом зависимую от воздействия x(t). В аналитической форме эта связь в аналоговой одномерной линейной системе обычно выражается линейным дифференциальным уравнением:

am = bn.  (21.1)

       При нормировке  к  ао = 1, отсюда следует:

y(t) =bn -am.  (21.2)

       По существу, правой частью этого выражения в самой общей математической форме отображается содержание операции преобразования входного сигнала, т. е. задается оператор трансформации входного сигнала в выходной. Для однозначного решения уравнений (21.1) должны задаваться начальные условия: значения решения y(0) и его производных по времени в начальный (нулевой) момент времени. В физической системе эти значения определяются начальной энергией в элементах, способных ее накапливать. Входным воздействием может быть произвольный сигнал. Коэффициенты am и bn, которые определяются составом и свойствами системы, должны быть известными.

       Как правило, решение уравнения (21.1) складывается из суммы принужденной yпр(t) и свободной yсв(t) составляющих:

y(t) = yпр(t) + ycв(t).

       В устойчивых системах yсв(t) определяется параметрами системы (реакция на "ударное" воздействие – единичный "дельта-импульс" или скачок) и с течением времени затухает. Если входное воздействие достаточно гладкое и не содержит скачков (разрывов первого рода), то по истечении определенного времени затухания yсв(t), которое обычно называют временем переходного процесса, система переходит в установившийся динамический режим, а выходной сигнал y(t) определяется только значением yпр(t) и линейно связан с входным воздействием x(t).

       Аналогичная модель в цифровой системы описывается разностными уравнениями:

am y((k-m)Δt) = bn s((k-n)Δt).  (21.3)

y(kΔt) =bn s((k-n)Δt) -am y((k-m)Δt).  (21.4)

       Последнее уравнение можно рассматривать как алгоритм последовательного вычисления значений y(kΔt), k = 0,1,2, …, по значениям входного сигнала s(kΔt) и предыдущих вычисленных значений y(kΔt) при известных значениях коэффициентов am, bn и с учетом задания определенных начальных условий - значений s(kΔt) и y(kΔt) при k<0. Интервал дискретизации в цифровых последовательностях отсчетов обычно принимается равным 1, т. к. выполняет только роль масштабного множителя.

Нерекурсивные цифровые системы. При нулевых значениях коэффициентов am уравнение (21.4) переходит в уравнение дискретной свертки x(k) с оператором bn:

y(k) =bn x(k-n).  (21.5)

При установленных значениях коэффициентов bn значения выходных отсчетов свертки для любого аргумента k определяются текущим и "прошлыми" значениями входных отсчетов. Такая система называется нерекурсивной цифровой системой (НЦС). Пример простейшей НЦС приведен на рис. 2.2.

Рис. 21.2. Пример НЦС.

Интервал суммирования по n получил название "окна" системы. Окно системы (21.5) составляет N+1 точку, система является односторонней каузальной, причинно обусловленной текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала, выходной сигнал не опережает входного. Каузальная система может быть реализована аппаратно в реальном масштабе времени. При k<n  проведение обработки входных данных возможно только при задании определенных начальных условий для точек x(-k), k=1,2,..,N. Как правило, в качестве начальных условий принимаются нулевые значения или значения отсчета х(0). Применяется также четное или нечетное продление функции x(k) на интервал отрицательных значений k. Если при обработке данных начальные интервалы массивов x(k) существенного значения не имеют, то обработку можно начинать с отсчета k=N.

При обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности системного оператора снимается. В программном распоряжении системы могут находиться как "прошлые", так и "будущие" значения входных отсчетов, при этом уравнение (21.5) будет иметь вид:

y(k) =bn x(k-n).  (21.6)