Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 75 )

Поскольку полоса пропускания канала всегда ограни­чена, непрерывные сообщения на достаточно продолжи­тельном интервале времени Т с некоторой погрешностью могут быть представлены последовательностями отсчетов. С учетом наличия корреляционных связей между отсчета­ми и конечной верности воспроизведения, обусловленной воздействием помехи, для средней скорости (VU) передачи информации дискретизованным сигналом получаем

    (23.30)

где I(VU) определяется выражением, аналогичным (23.28). По мере увеличения длительности Т эта скорость возрастает, так как при каждом новом отсчете реализации уточняются. В пределе при Т→∞  N-мерные распределения становятся бесконечномерными и выражение (23.30) будет определять скорость передачи информации по непрерывно­му каналу:

Переход к пределу при Т→∞ также означает усред­нение скорости по всем возможным сигналам.

Степень вредного воздействия помехи с известными статистическими свойствами на различные ансамбли входных сигналов различна. Вследствие этого различны и значения скорости передачи информации.

Пропускная способность непрерывного канала связи. Максимально возможную скорость Сн передачи информа­ции по непрерывному каналу с известными техническими характеристиками называют пропускной способностью не­прерывного канала:

    (23.31)

где максимум находят по всем возможным ансамблям входных сигналов.

Определим скорость передачи информации по гауссову каналу.

Пусть по гауссову каналу передается непрерывный сигнал uT(t) из ансамбля [uT(t)] со средней мощностью Ри, равной дисперсии у2u. На выходе канала получим сигнал vT(t) из ансамбля [vT(t)], искаженный гауссовой помехой о(t), среднюю мощность которой обозначим  Ро,  (Ро = у2о).

Будем считать, что длительность Т сигнала uT(t) доста­точно велика, чтобы с приемлемой погрешностью можно было заменить uT(t) и vT(t) последовательностями отсчетов, взятых через интервалы  ∆t = 1/(2FK), где FK — полоса пропускания канала.

В соответствии с (23.20) выражение для среднего коли­чества информации, передаваемой сигналом vT(t), прини­мает вид

    (23.32)

где Н(V) и HU(V) — априорная и апостериорная энтропии N-мерного случайного вектора V, составляющими которо­го являются случайные величины V1, V2, ..., VN.

Поскольку помеха в канале аддитивна и статистически не связана с входным сигналом, справедливо равенство

    (23.33)

Величинав (23.33) представляет собой энтропию N-мерного случайного вектора помехисоставляющими которого являются случайные величины 

Учитывая, что значения белого шума в моменты отсче­тов будут некоррелированными, запишем

    (23.34)

где h(о) — дифференциальная энтропия одного отсчетного значения помехи.

Для помехи с нормальным распределением и диспер­сией у2о она составит (13.76)

    (23.35)

Будем считать, что отсчетные значения входных функ­ций uT(t) независимы. При воздействии на них независи­мых значений помехи отсчетные значения выходных сигналов VT(t) также независимы.

Тогда H(V) можно выразить через дифференциальную энтропию h(V) одного отсчета выходного сигнала:

    (23.36)

Подставив (23.35) и (23.36) в (23.32), получим

    (23.37)

Соответственно скорость передачи информации по не­прерывному каналу связи

    (23.38)

Определим теперь пропускную способность гауссова ка­нала.

Найдем ансамбль входных сигналов, при котором обеспечивается максимальное значение h(V) в выражении (23.38).

Так как выходные сигналы образуются в результате суммирования входных сигналов и помехи, средние мощ­ности которых ограничены, то и средняя мощность выход­ных сигналов ограничена. Для таких сигналов, как было установлено, наибольшее значение h(V) дости­гается при распределении V по нормальному закону. Известно также, что сумма двух нормально распределен­ных случайных величин имеет такую же функцию распре­деления с суммарной дисперсией. Отсюда следует, что при нормально распределенной помехе о, выходной сиг­нал V будет распределен по нормальному закону лишь при нормально распределенном входном сигнале и.

Наибольшее значение энтропии h(V), а следовательно, и  максимальная  скорость  передачи  информации  могут быть достигнуты при использо­вании нормальных центриро­ванных случайных сигналов. Центрированность сигнала при заданной средней мощности со­ответствует максимальному значению дисперсии.

Они  также  должны  иметь широкий и равномерный энергетический  спектр,  поскольку  только в этом случае можно го­ворить о независимости отсчетов и использовать соотно­шение

Таким образом, для более полного использования воз­можностей канала передаваемый сигнал должен обладать свойствами  помехи,  т. е.  должен  быть  шумоподобным.

Максимальная величина дифференциальной энтропии

  . (23.39)

Подставляя (23.39) в (23.38), получаем выражение для пpопускной способности гауссова канала:

 

(23.40)

  Выясним, как зависит пропускная способность гауссова канала от ширины полосы пропускания FK.

  Из выражения (23.40) следует, что эта зависимость нелинейна, поскольку FK также влияет на мощность помехи. Учитывая равномерность энергетического спект­ра белого шума, представим его мощность Ро через удельную мощность Р0 на единицу частоты.

  Выражение (23.40) примет вид

  Рост пропускной способности канала при неограни­ченном расширении его полосы пропускания ограничен пределом СM:

  Обозначив г = 1/FK, пo правилу Лопиталя определяем предел Сн при г→0:

О характере зависимости Сн = f(FK) можно судить по графику, представленному на рис. 23.7.

Pис. 23.7

23.7.  Согласование фи­зических характеристик сигнала и канала

  Конкретный канал связи обладает определенными фи­зическими параметрами, от которых зависит возможность передачи по нему тех или иных сигналов. Независимо от назначения непрерывного канала его можно характе­ризовать тремя основными параметрами: временем, в те­чение которого он предоставляется для передачи сигнала Тк, шириной полосы пропускания сигнала FK и допусти­мым превышением сигнала над помехой в канале Нк. Превышение Нк характеризуется разностью максимально допустимого сигнала в канале Ри тах и уровня помех Ро (в логарифмическом масштабе). Для проводных каналов превышение в основном определяется пробивным напря­жением и уровнем перекрестных помех, для радиокана­лов — возможностями выявления сигнала на соответст­вующих расстояниях.

  Произведение указанных основных параметров кана­ла связи принято называть объемом (емкостью) канала и обозначать VK:

    (23.41)

  При оценке возможностей передачи сигнала по кана­лу с заданными физическими характеристиками также ограничиваются рассмотрением трех основных парамет­ров сигнала: его длительности Тс, ширины спектра Fc и превышения над помехой Нс, причем

    (23.42)

где  Ри — средняя  мощность  передаваемого  сигнала; Ро — средняя мощность помехи в канале.

  Превышение Нс связано с возможностями передатчи­ка и дальностью передачи. Чем больше Нс, тем меньше вероятность ошибочного приема. Аналогично объему ка­нала вводится понятие объема (емкости) Vс передавае­мого сигнала:

    (23.42)

  Как объем сигнала, так и объем канала могут быть представлены в трехмерном пространстве с соответствую­щими координатами Т, F, Н (рис. 23.8).

Рис. 23.8

  Необходимым условием принципиальной возможности неискаженной передачи сигнала по данному каналу явля­ется выполнение соотношения