Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 14 )

c1 = ⟨s, v1⟩,  c2 = ⟨s, v2⟩.

       В этом нетрудно убедиться, если вычислить скалярные произведения левой и правой части выражения (17.28) сначала с вектором v1:

⟨s, v1⟩ = ⟨(c1v1+c2v2), v1⟩ = ⟨с1v1, v1⟩ + ⟨с2v2, v1⟩ = с1⟨v1, v1⟩ + с2⟨v2, v1⟩.

       При ортонормированности базиса {v1, v2} имеем:

⟨v1, v1⟩ = ||v1||2 = 1,  ⟨v2, v1⟩ = 0.

       Отсюда следует: ⟨s, v1⟩ = с1.  Аналогичным образом можно получить и выражение для значения  c2 = ⟨s, v2⟩.

  Пример.  Разложить вектор s = (/2, 5/2) по базису, представленному  векторами

v1 = (/2, 1/2)  и  v2 = (-1/2, /2)

из предыдущего примера.

  s = c1v1 + c2v2.

  с1 = ⟨s, v1⟩ = (/2)·(/2) + +(5/2)·(1/2) = 2.

  с2 = ⟨s, v2⟩ = (/2)·(-1/2) + +(5/2)·(/2) = .

  Результат:  В пространстве с базисом {v1, v2} вектор s однозначно определяется двумя векторами v1 и  v2:

s = 2v1 + v2.

Множество векторов {vk, k = 1, 2, …, N} может быть принято в качестве ортонормированного координатного базиса N-мерного пространства, если их совокупность является линейно независимой, равенство aivi = ∅  выполняется только в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов ai, и для всех векторов этого множества при единичной норме выполняется условие взаимной ортогональности:

⟨vm, vn⟩ =   (17.29)

Выражение (17.29) обычно записывается в следующей форме:

⟨vm, vn⟩ = δmn,

где δmn – импульс (символ) Кронекера.

       С использованием ортонормированного базиса любой произвольный сигнал можно представить в виде линейной комбинации взвешенных базисных векторов:

s = c1v1 + c2v2 + … + cNvN = civi,

где весовое значение сk представляет собой проекцию вектора s на соответствующее координатное направление и определяется скалярным произведением:

ck = ⟨s, vk⟩.

       Коэффициенты ck называют коэффициентами Фурье в базисе {vk}. Базисную систему {vk} называют полной, если ее размерность (и размерность соответствующего пространства) равна размерности представляемых в этой системе сигналов.

Комплексное линейное пространство, векторам которого также может быть поставлено в соответствие комплексное число скалярного произведения ⟨s, vk⟩, называют унитарным. Для него действительны все свойства скалярного произведения с учетом сопряжения:

⟨s, v⟩ = ⟨v, s⟩*; ⟨s, аv⟩ = ⟨аv, s⟩* = a*⟨s, v⟩,  где а – комплексное число.

17.6. Мощность и теория сигналов

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного,  сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) - вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению задается выражением:

  w(t) = s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a2(t)+b2(t) = |s(t)|2,  (17.30)

т. е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов - квадрату функции амплитуд.

       Аналогично для дискретных сигналов:

  wn = sn s*n = [an+jbn] [an-jbn] = an2 + bn2 = |sn|2,  (17.31)

Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:

Еs =w(t)dt =|s(t)|2dt.  (17.32)

Es =wn =|sn|2.  (17.33)

Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:

w(τ) = (1/Δt)|s(t)|2dt.

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигналов - в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность (average power) сигнала:

WT(τ) = (1/T)w(t) dt = (1/T)|s(t)|2 dt.  (17.34)

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

Ws = w(t) dt.  (17.35)

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала (root mean sqare, RMS).

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

w(t) = |s(t)|2/R,

а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрированием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физическая размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (17.30). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением  любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой специфические метрологические характеристики сигналов.

Из сравнения выражений (17.18) и (17.32) следует, что энергия и норма сигнала связаны соотношениями: 

Es = ||s(t)||2,  ||s(t)|| =   (17.36)

Пример.  Цифровой сигнал задан функцией 

s(n) = {0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0,0,0....}.

Энергия сигнала:

Es = s2(n) = 1+4+9+16+25+16+9+4+1 = 85.

Норма:

||s(n)|| = ≈ 9.22

Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t):

E =[u(t)+v(t)]2 dt = Eu + Ev + 2u(t)v(t) dt.  (17.37)

       Как следует из этого выражения, энергии сигналов (а равно и их мощности), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию:

Euv = 2u(t)v(t) dt.  (17.38)

Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению:

Euv = 2 ⟨u(t), v(t)⟩.  (17.29)

При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):

wxy(t) = x(t) y*(t),  (17.40)

  wyx(t) = y(t) x*(t),

  wxy(t) = w*yx(t).

Для вещественных сигналов:

wxy(t) = wyx(t) = x(t) y(t).  (17.41)

С использованием выражений (17.40-17.41) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.