Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 60 )

Преобразование свертки и произведения сигналов у Хартли в общем случае выглядит сложнее, чем в преобразовании Фурье. Для свертки сигналов имеем:

s(t) * u(t) 0.5 [Sh(f)Uh(f) - Sh(-f)Uh(-f) + Sh(f)Uh(-f) + Sh(-f)Uh(f)].  (21.61)

       Для произведения сигналов:

s(t) u(t) 0.5 [Sh(f)*Uh(f) - Sh(-f)*Uh(-f) + Sh(f)*Uh(-f) +

+Sh(-f)*Uh(f)].  (21.62)

Однако это не более чем видимость, т. к. выполняя свертку через преобразование Фурье s(t)*u(t)S(f)U(f) мы производим перемножение двух комплексных функций A(f)-jB(f) с соответствующим суммированием также произведений четырех членов. С позиций обработки и фильтрации данных, существенное значение имеет тот фактор, что если хотя бы одна из функций, входящих в формулу свертки, является либо четной, либо нечетной, то формулы прямых преобразований Хартли и Фурье для свертки полностью совпадают. Как правило, операторы фильтров для исключения сдвига фазы обрабатываемых данных выполняют симметричными, при этом преобразование Хартли имеет вид:

h(t) * s(t) Hh(f) Sh(f).  (21.63)

Если оператор фильтра асимметричный (нечетный), то формула приобретает вид:

h(t) * s(t) Hh(f) Sh(-f).  (21.64)

Преобразование функции корреляции. В частотной области преобразование Хартли автокорреляционной функции, как и преобразование Фурье, представляет собой спектральную плотность мощности сигнала:

  Bs(τ) = ⟨s(t), s(t+τ)⟩ 0.5 [Sh2(f) + Sh2(-f)] = Whs(f).  (21.65)

       Учитывая четность автокорреляционной функции и спектра мощности, оно практически ничем не отличается от преобразования Фурье, за исключением алгоритма вычислений. На рис. 21.30 приведен пример вычисления автокорреляционной функции сигнала с использованием преобразования Хартли.

Рис. 21.30. Вычисление корреляционной функции сигнала.

       Двумерное преобразование Хартли. Для двумерной функции s(x, y) двумерное преобразование Хартли задается выражениями:

Sh(u, v) =s(x, y) cas[2π(ux+vy)] dxdy,  (21.66)

s(x, y) =Sh(u, v) cas[2π(ux+vy)] dudv,  (21.67)

       Связь двумерного преобразования Хартли с преобразованием Фурье легко устанавливается аналогично одномерному преобразованию:

Sh(u, v) = Re(S(u, v)) – Im(S(u, v)).  (21.68)

       Соответственно, для двумерного ПХ сохраняются свойства четности и нечетности одномерного преобразования. Если функция s(x, y) обладает свойством круговой симметрии, то ее двумерное преобразование Хартли совпадает с двумерным преобразованием Фурье.

Основные свойства двумерного преобразования:

       Подобие:

s(ax, by) (1/|ab|) Sh(u/a, v/b).  (21.69)

       Сдвиг:

s(x-a, y-b)cos(2π(au+bv))Sh(u, v)+sin(2π(au+bv))Sh(-u, - v).(21.70)

       Модуляция:

s(x, y) cos(2π(uox+voy)) 0.5 [Sh(u-uo, v-vo) + Sh(u+uo, v+vo)].(21.71)

       Корреляция:

B(τx, τy) T [Sh2(u, v) + Sh2(-u, - v)].  (21.72)

Произведение при разделении переменных:

s(x) h(x) 0.5 [Sh(u, v)Hh(u, v) - Sh(-u, - v)Hh(-u, - v) +

+ Sh(u, v)Hh(-u, - v)+ Sh(-u, - v)Hh(u, v)].  (21.73)

Свертка:

s(x, y)*h(x, y) 0.5T [Sh(u, v)Hh(u, v) - Sh(-u, - v)Hh(-u, - v) +

+ Sh(u, v)Hh(-u, - v)+ Sh(-u, - v)Hh(u, v)].  (21.74)

21.11. Дискретное преобразование Хартли

Формулы преобразования. Как обычно, для представления функций с равномерной дискретизацией примем обозначение s(nΔt), или s(n) ≡ sn при  При Δt = 1. Количество отсчетов функции равно N, интервал задания [0, N-1]. Прямое и обратное преобразование Хартли:

Sh(mΔf) = (1/N)s(nΔt) cas(2π mΔf nΔt),  n = 0…N-1,  (21.75)

s(nΔt) =Sh(mΔt) cas(2π mΔf nΔt),  m = 0…M-1.  (21.76)

Здесь: М – количество отсчетов спектральной функции с шагом дискретизации по частоте Δf. Дискретизация сигнала вызывает периодизацию частотных функций. Частота Найквиста для главного частотного диапазона fN=1/2Δt, главный частотный диапазон вычислений от 0 до 2fN, оптимальный и достаточный шаг частотной дискретизации для сохранения всей сигнальной информации и восстановления сигнала при обратном преобразовании без погрешности Δf = 1/N. Пример преобразования приведен на рис. 21.31.

Рис. 21.31. Дискретное преобразование Хартли.

        Спектры числовых рядов. При обработке произвольных рядов данных значение Δt по умолчанию равно 1 и формулы (21.75-21.76) применяются в следующем виде:

Sh(m) = (1/N)s(n) cas(2π m n/N),  (21.77)

s(n) =Sh(m) cas(2π m n/N).  (21.78)

  Спектр сигналов является непрерывной функцией. Оптимальная дискретизация спектра при малом количестве данных может существенно искажать форму спектра, и для визуального просмотра шаг дискретизации может быть уменьшен, как это показано на рис. 21.31 для спектра Sh1. Однако при этом следует учитывать, что при уменьшении шага спектра в k-раз для восстановления сигнала из спектра требуется выполнять расчет с увеличением в k раз количества точек спектра М.

Рис. 21.32.

       Это объясняется тем, что спектр Хартли в главном диапазоне не имеет избыточности, как это характерно для преобразования Фурье (комплексная сопряженность). В диапазоне главного периода [-M/2, M/2], спектр Хартли в общем случае представляет собой произвольную функцию (рис. 21.32). При смещении расчетного диапазона спектра в интервал [0, M-1], что выполняется для ускорения расчетов и исключения отрицательного индексирования отсчетов, восстановление сигнала по интервалу [0, M/2] невозможно,  за исключением четных и нечетных функций, где информационная избыточность заложена в задании самой функции.

       Свойства дискретного преобразования по своей сущности аналогичны свойствам непрерывного преобразования. С учетом смещения расчетного главного диапазона спектра в область положительных индексов на половину периода, значениям Sh(-m) соответствуют значения Sh(M-m) и, соответственно, несколько изменяются формулы свойств преобразования. Из чисто практических соображений построения алгоритмов расчетов заметим, что при m=0 значениям Sh(M-m)  должно соответствовать значение Sh(0). Для сохранения общности алгоритмов это выполняется расчетом спектров в формулах (21.75) не до индекса M-1 (при M=N), а до индекса М (с сохранением предела суммирования М-1 в формулах обратного преобразования). 

       Вычисление четной и нечетной составляющих:

Shsym(m) = [Sh(m)+Sh(M-m)]/2,  (21.79)

Shasym(m) = [Sh(m) - Sh(M-m)]/2.  (21.80)

       Связь с преобразованием Фурье:

S(m) = Shsym(m) – j Shasym(M-m),  (21.81)

       Энергетический и фазовый спектры:

Wh(m) = [Sh2(m)+Sh2(M-n)]/2.  (21.82)

φ(m) = argtg(-[Sh(m) - Sh(M-n)] / [Sh(m)+Sh(M-n)]).  (21.83)

Сдвиг сигнала. Смещение на полпериода нумерации отсчетов вызывает изменение знака синусного члена:

s(n-no) = cos(2πmno/N) Sh(m) - sin(2π mno/N) Sh(M-m).  (21.84)

Преобразование производной:

s'(n) = (2πm/N) Sh(M-m).  (21.85)

       Функция корреляции:

Bs(k) = ⟨s(n), s(n+k)⟩ 0.5 [Sh2(m) + Sh2(M-m)] = Whs(m). (21.86)

Преобразование свертки:

  s(n)*u(n) 0.5N[Sh(m)Uh(m)-Sh(M-m)Uh(M-)+

  +Sh(m)Uh(M-m)+Sh(M-m)Uh(m)].  (21.87)

       Цифровая фильтрация методом свертки.  Выполнение свертки через преобразование Хартли полностью аналогично циклической свертке через преобразование Фурье: