Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 65 )

s() =S() exp(jT) d.  (22.29)

где: = (ωх,ωу)T.

Выражение s() может быть получено дискретизацией выражения sa()  (13.4.7):

s() = sa() =Sa() exp(jT) d.

       После подстановки в это выражение значения = T, получаем:

s() = Sa(/T) exp(jТ) d.

       Или, с учетом периодичности по квадратным областям плоскости:

s() = Sa((-2π)/T) exp(jТ) d,  (22.30)

где - вектор целочисленных значений периодов дискретизированной функции по осям ωх и ωу. Сравнивая последнее выражение с выражением (22.29), получаем:

S() =Sa((-2π)/T),

S(T) = Sa(-),  (22.31)

где - матрица периодичности:

Т = 2π,  (22.32)

которой задаются два линейно независимых вектора периодичности спектра, - единичная матрица 2 Ч 2. Выражение (22.31) определяет связь между преобразованиями Фурье дискретных и аналоговых сигналов.

       Как и в одномерном случае, интервалы дискретизации Δx и Δy определяют главный период двумерного спектра соответственно по осям ωx и ωy и частоты Найквиста: ωxN = π/Δx и ωyN = π/Δy. Спектр дискретного сигнала также является периодическим продолжением спектра аналогового сигнала. Для исключения искажений спектра (наложения спектров боковых периодов на главный период) предельные частоты сигнала должны быть меньше частот Найквиста.

На рис. 22.11 приведен пример центральной части спектра дискретного сигнала при Δx=1 и Δy=1.

Рис. 22.11.

В случае прямоугольной дискретизации:

,  det = ΔхΔу,  (22.33)

.  (22.34)

Интерполяция дискретных сигналов. Для сигнала с ограниченным спектром изменением матрицы дискретизации можно подобрать матрицу периодичности таким образом, чтобы в правой части выражения (22.31) не было перекрытия спектров. Тогда для значений по точкам T области С главного периода спектра выражение (22.31) упрощается:

S(T) = Sa() / |det |.  (22.35)

  Sa() = |det | S(T) = |det | S(),  ∈ С.  (22.36)

Из выражения (22.36) следует, что при корректной дискретизации непрерывной двумерной функции ее спектр с точностью до нормировочного множителя |det | может быть восстановлен по спектру дискретной функции. Соответственно, выполнив обратное преобразование Фурье левой и правой части равенства (22.36), получим уравнение восстановления непрерывной функции по ее дискретному варианту (многомерный аналог интерполяционного ряда Котельникова-Шеннона):

sa() = s()exp(jT (-)) d.