Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 58 )

        В силу линейности фильтра и принципа суперпозиции зарядов на интегрирующей емкости, в любой текущей временной точке оператор фильтра реагирует на разряд интегрирующей емкости, как на сумму разрядов от всех предыдущих импульсов. И если по разряду одного импульса система будет точно настроена на нулевую линию, то она будет сохранять нулевую линию независимо от количества и времени прихода импульсов, а равно и от наложения импульсов друг на друга. 

Форма сигнала y(t) в первом приближении соответствует выражению:

y(t) = exp(-t/RC) - exp(-t/τ).  (21.42)

Основная информация сигнала заключена в его фронте и в спектральной области формирует высокочастотные составляющие сигнала. На рис. 21.16 приведены модули спектров Y(f) и Z(f) сигналов  y(t) и z(t), и частотные передаточные функции оператора фильтра Z(f)/Y(f). Для наглядного представления их формы все модули нормированы к 1 по максимальным значениям.

Рис. 21.16.

Значимую часть спектра формируемого оператора целесообразно выделить умножением спектра оператора на весовую функцию p(t), равную 1 в пределах значимой части отношения Z(f)/Y(f), и плавно спадающую к нулю за его границами (окно детализации на рисунке). Одновременно это подавит высокочастотные шумы в сигнале y(t), появление которых в регистрируемом сигнале неизбежно в силу природы ионизирующего излучения. В результате мы получим спектральную функцию H(f) требуемого оператора преобразования сигналов.

Временная функция оператора фильтра h(t) вычисляется обратным преобразованием Фурье функции H(f). Для начала длина оператора устанавливается соизмеримой с длиной входного сигнала (оператор hc(t) на рис. 21.17). В данном случае оператор фильтра является конечным, достаточно быстро затухает, и может быть ограничен до величины h(t).

В общем случае, для изрезанных и скачкообразных функций H(f), оператор фильтра может затухать достаточно медленно и может потребоваться его усечение до определенных конечных размеров с применением весовых функций.

Рис. 21.17.

По заданной частотной характеристике H(f) может быть синтезирован аналоговый фильтр, но настройка такого фильтра под конкретные параметры детектора будет представлять собой достаточно трудоемкую операцию. Больше возможностей в этом отношении представляют дискретные методы преобразования сигналов. Ограничение размеров дискретных операторов определяется допустимой погрешностью реконструкции заданной формы сигналов и точностью формирования нулевой линии при заданном временном разрешении. Работоспособность фильтра проверяется сверткой оператора с сигналом y(t). На рис. 21.18 приведено сопоставление заданной формы сигнала z(t) и формы сигнала zh(t) на выходе фильтра при подаче на его вход сигнала y(t).  Фильтр был смоделирован в цифровой форме с шагом Δt=0.1 мкс с размером окна N=20. Оператор фильтра имел коэффициент передачи постоянной составляющей Кпс=0.2 и коэффициент усиления дисперсии шумов 0.85.

Рис. 21.18.

На рисунке приведена также абсолютная погрешность реконструкции сигнала Δz(t)=zh(t)-z(t), увеличенная для наглядности в 100 раз. Погрешность реконструкции флангов сигнала при амплитудных измерениях значения не имеет. Гораздо большее значение имеет быстрое и точное восстановление нулевой линии после формирования выходного сигнала, которое определяет погрешность измерения амплитуды последующего сигнала, наложенного на разряд интегрирующей емкости от предыдущего. Компенсация погрешностей, возникающих за счет усечения спектров и ограничения размеров самого оператора, может проводиться коррекцией значения последнего члена оператора (выход на нулевую линию), а коррекцией значения первого члена оператора может настраиваться точное соотношение 1:1 амплитуд входных и выходного сигналов.

Реконструкция сигналов, приведенная на рис. 21.18, обеспечила временное разрешение измерений 3-4 мкс при точности амплитудных измерений 0.1%. На рис. 21.19 приведена проверка временного разрешения фильтра на модели сигнала в виде трех последовательных импульсов одинаковой и достаточно большой амплитуды, следующих через 4 мкс друг за другом и вызывающих значительное смещение напряжения на интегрирующей емкости RC-цепи. Пунктиром на рисунке приведено восстановление нулевой линии на выходе фильтра с увеличением масштаба в 100 раз.

Рис. 21.19. Проверка временного разрешения фильтра.

Точность реконструкции сигналов при разных значениях амплитуд входных сигналов можно видеть на рис. 21.20.

Рис. 21.20.

На модели установлено отношение амплитуд 100:1 первого и второго импульсов. Второй импульс, наложенный на спад первого импульса, практически не отражается на его форме. Фильтр уверенно разделяет эти импульсы с ошибкой формирования амплитуды второго импульса не более 1%.

21.9. Преобразование Хартли (основные сведения)

Преобразование Хартли является аналогом преобразования Фурье и может применяться для спектрального анализа, фильтрации и обработки сигналов. Название преобразование получило по имени Р. Хартли, опубликовавшего в 1942 г. статью о паре интегральных преобразований - прямом и обратном, использующих введенную им функцию casθ=cosθ+sinθ. Преобразование оставались в забвении до 80-х годов прошлого века.

Обращение к преобразованию Хартли было обусловлено ситуацией, сложившейся в ряде методов обработки информации, использующих вещественные последовательности данных, обработку которых желательно осуществ­лять в области вещественных чисел. В отличие от преоб­разования Фурье, отображающего вещественные функции в ком­плексную область и несимметричного по комплексной переменной, пре­образование Хартли осуществляет  преобразо­вания только в вещественной области, отображая вещественные сигналы s(t) в вещественные S(ω). Прямое и обратное преобразование Хартли взаимно сим­метричны. Большой вклад в развитие преобразования внес Р. Брейсуэлл, разработавший основы тео­рии непрерывного и дискретного преобразования Хартли, а также один из вариантов его быстрого преобразования. Применение преобразования перспективно для обработки изображений.

Определение преобразования. Преобразование Хартли задается парой формул:

  Sh(ω) = (1/)s(t) cas ωt dt  (21.43)

  s(t) = (1/)Sh(ω) cas ωt dω  (21.44)

где функция cas представляет собой сумму косинуса и синуса одного аргумента:

  cas ωt = cos ωt + sin ωt.  (21.45)

       Множители 1/обусловлены применением в формулах аргумента ω. Они могут заменяться одним множителем 1/2π только в формуле (21.44), но это нарушает симметричность прямого и обратного преобразования. При необходимости применения симметричных алгоритмов в формулах можно использовать аргумент циклической частоты:

  Sh(f) =s(t) cas 2πft dt  (21.46)

  s(t) =Sh(f) cas 2πft df  (21.47)

       На первый взгляд в формулах отсутствуют существенные отличия от интегральных преобразований Фурье, однако на практике эти различия могут быть достаточно ощутимыми, что определяется вещественным характером функции Sh(f).

Связь преобразований Фурье и Хартли. Допустим, имеется произвольная функция s(t) Sh(f),

s(t) S(f), где Sh(f) и S(f) – результаты преобразования Хартли и Фурье (Хартли - и Фурье-образы s(t)). Любая функция y(x) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной компонент, и однозначно по ним восстановлена. Четная компонента определяется как полусумма функции y(x) и ее зер­кального изображения y(-x), нечетная компонента определяется как полуразность этих функций и обладает свойством антисимметрии, т. е. y(-x) = - y(x). Запишем для преобразования Хартли:

Sh(f) =s(t) cas 2πft dt =s(t) cos 2πft dt + s(t) sin 2πft dt.

Sh(f) = Shsym(f) + Shasym(f),

  Shsym(f)=[Sh(f)+Sh(-f)]/2=s(t) cos 2πft dt,  (21.48)

  Shasym(f)=[Sh(f)-Sh(-f)]/2=s(t)sin 2πft dt,  (21.49)

где Shsym(f) и Shasym(f) – четная и нечетная компоненты Sh(f). C другой стороны, для преобразования Фурье имеем:

S(f) =s(t) exp(-2πft) dt = A(f) – j B(f).

A(f) =s(t) cos 2πft dt, - четная вещественная часть спектра, 

B(f) =s(t) sin 2πft dt, - нечетная мнимая часть спектра.