Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 61 )

s(n) = x(n)*y(n) Xh(n)Yh(n) = Sh(n) s(n).  (21.88)

Рис. 21.33. Свертка функций во временной и спектральной области.

       Как и для ДПФ, при фильтрации сигналов с выполнением свертки через частотную область ДПХ для исключения наложений от боковых периодов на сигнал главного периода интервал задания сигнала следует продлевать (нулями, значениями фона или тренда) на длину оператора фильтра, для симметричных операторов – с обеих сторон интервала. После выполнения этой операции длина самого оператора фильтра, которая обычно много меньше длины сигнала, также должна продлеваться до количества задания отсчетов сигнала с учетом его продления, т. к. умножение спектров сигнала и фильтра требует равного количества отсчетов их спектрального представления.

       Двумерная дискретная фильтрация. Спектр Хартли функции s(k, n), представленной в виде матрицы размера К Ч N (k=kΔx, n=nΔy), имеет вид вещественной матрицы Sh(m, p) также размером  KЧN, при этом прямые и обратные преобразования матриц записываются в виде:

Sh(m, p) = (1/KN)s(k, n) cas(2πkn/K+2πkn/N),  (21.89)

s(k, n) = (1/KN)Sh(m, h) cas(2πkn/K+2πkn/N).  (21.90)

22. Многомерные сигналы и системы

Обработка многомерных сигналов, используя в частных случаях методы обработки одномерных сигналов, имеет и существенные особенности. Это объясняется тремя факторами. Во-первых, математические методы описания многомерных систем далеки от совершенства и завершенности. Во-вторых, при решении многомерных задач используется значительно больший объем данных. И в третьих, многомерные системы обладают большим числом степеней свободы и, соответственно, значительно большей гибкостью. Так, например, при дискретизации информации в одномерном случае устанавливается только частота отсчетов, а в многомерном не только частота, но и форма растра дискретизации. С другой стороны, многомерные полиномы разлагаются на множители только в частном случае, а, следовательно, многие одномерные методы не обобщаются на случай многомерных задач.

Ниже будут рассматриваться сигналы и системы с размерностью два и более, при этом основное внимание будет уделяться двумерным задачам, имеющим широкое распространение в практике. Повышение размерности выше двух не приводит к качественным отличиям от двумерных случаев, кроме повышения сложности вычислений.

Многомерная информация в своем абсолютном большинстве, это дискретная информация в цифровой форме – многомерные массивы данных. Многомерные непрерывные функции используются только в чисто теоретических исследованиях. Даже двумерных данных, непрерывных (аналоговых) по обоим аргументам практически не существует. С учетом этого ниже рассматриваются, в основном, многомерные сигналы в дискретной форме.

22.1. Двумерные и многомерные сигналы

Понятие многомерного сигнала. Многомерные сигналы представляют собой функции P независимых переменных при P>1. В общем случае, сигнал может быть непрерывным, дискретным или смешанным. Понятия непрерывности и дискретности аналогичны одномерным сигналам. Что касается смешанного сигнала, то это многомерный сигнал, который описывается функцией некоторого количества непрерывных и некоторого количества дискретных переменных. Пример смешанного двумерного сигнала: ансамбль непрерывных сигналов, изменяющихся во времени (t - вторая переменная), снимаемых с набора сейсмических приемников сейсмотрассы (номера датчиков - первая переменная).

В общем случае, двумерный непрерывный сигнал представляет собой функцию, значения которой зависят от двух независимых переменных (аргументов, координат):

s(x, y) = sin(x2+y2),  -< x, y < (22.1)

  График функции (в пределах одного периода) приведен на рис. 22.1.

Рис. 22.1.

Двумерный дискретный сигнал (цифровой массив) - это функция, определенная на совокупности пар числовых значений координат с определенным шагом дискретизации Δx и Δy. В общем случае, при различной физической размерности аргументов x и y, значения Δx и Δy не равны друг другу:

sn, m = s(nΔx, mΔy),  -< n, m <.  (22.2)

Элемент последовательности sn, m представляет собой отсчет двумерной функции s в координатной точке (x=nΔx, y=mΔy), где значения x и y – независимые переменные (аргументы) функции. Для числовых массивов значения шага дискретизации по аргументам также могут приниматься равными 1 (независимо от размерности) и использоваться аргументация s(n, m) ≡ sn, m. Результаты геофизических съемок какого-либо одного геофизического параметра по поверхности земли относятся к двумерным функциям: дискретным - если это отсчеты в отдельных точках по определенной координатной сети (x, y), или смешанным - если это непрерывная регистрация данных по профилям (например - мощности экспозиционной дозы гамма излучения горных пород при аэросъемке). Но в настоящее время геофизические съемки относятся даже не к двумерным, а к многомерным функциям, так как  регистрируется, как правило, сразу несколько физических параметров геологических сред. Так, например, при спектрометрической съемке естественной радиоактивности горных пород регистрируется содержание в горных породах урана, тория и калия, в гравиразведке - трехкоординатный вектор силы тяжести, и т. п.  Если на какой-либо площади проведена съемка нескольких видов геофизики, то их результаты также могут рассматриваться в совокупности, как многомерная функция физических параметров данной геологической среды.

По определениям (22.1) двумерные функции и сигналы, равно как и многомерные,  имеют бесконечную протяженность по координатам. На практике мы всегда имеем дело с конечными координатами наших данных. Учитывая это, будем считать, что значения наших сигналов за пределами определенных координат равны нулю.

Отметим некоторые двумерные последовательности (функции, сигналы), имеющие специальные названия.

Двумерный единичный импульс δ(nΔx, mΔy) = δn, m или единичный отсчет:

δn, m = 1,  при n = m = 0.

  = 0,  при n0, m0.

δn, m = δn δm,

где δn, δm - одномерные единичные импульсы (импульсы Кронекера) по координатам n и m. Стилизованное графическое представление двумерного единичного импульса приведено на рис. 22.2.

Рис. 22.2.

Произвольное расположение двумерного единичного импульса по координатам n1, m1 соответственно записывается в виде:  δ((n-n1)Δx,(m-m1)Δy)=δn-n1,m-m1. Попутно напомним, что математическая запись импульса Кронекера обозначает не единичный отсчет, а функцию, определяющую место положения единичного отсчета и нулевые значения по остальным координатам (аргументам).

Двумерный линейный импульс  представляет собой последовательность единичных отсчетов по одной координате:  s(n, m) = δ(n) или s(n, m) = δ(m). На рис. 22.3 приведены два двумерных линейных  импульса, первый - по координате m = 0:  s(n, m) = δ(m), и второй импульс по координате n = 2: s(n, m) = δ(n-2).

Рис. 22.3.

Очевидно, что для P-мерных случаев точно таким же образом могут быть определены P-мерные единичные импульсы, P-мерные линейные импульсы, P-мерные площадные импульсы и т. д., хотя понятие импульса, заимствованное из теории одномерных сигналов, здесь несколько не к месту.

Двумерная единичная ступенька u(n, m), представленная на рис. 22.4, определяется выражением:

u(n, m) = 1,  при n0 и m0,

  = 0,  в остальных случаях.

u(n, m) = u(n) u(m),

где u(j) представляют собой единичные ступеньки соответственно по координатам n и m:  u(j)=1 при j0, u(j)=0  при j<0. Двумерная единичная ступенька отлична от нуля в одном квадранте (n, m)- плоскости.

Рис. 22.4.

Экспоненциальная последовательность:  s(n, m) = anbm, -< n, m <, где а и b в общем случае комплексные числа. При а = exp(jω1), b = exp(jω2), |а|=1, |b|=1:

s(n, m) = exp(jnω1+jmω2) = cos(nω1+mω2)+jsin(nω1+mω2).

Экспоненциальные последовательности, как и в одномерном случае, являются собственными функциями двумерных линейных систем, инвариантных к сдвигу.