Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 59 )

       Сравнивая эти две группы выражений, нетрудно сделать выводы по формулам связи преобразований Фурье и Хартли:

  S(f) = Shsym(f) – j Shasym(f),  (21.50)

  Sh(f) = A(f) - B(f).  (21.51)

Таким образом, преобразование Фурье равно разности четной составляющей пре­образования Хартли и нечетной составляющей, умноженной на j, а преобразование Хартли определяется как разность ве­щественной и мнимой составляющих преобразования Фурье.

Пример прямого и обратного преобразования Хартли для простого сигнала (гауссиан с быстро затухающей частотной характеристикой) и сопоставления четной и нечетной частей его спектра с действительной и мнимой частью спектра Фурье приведен на рис. 21.21.

Рис. 21.21.

       Как можно видеть на рисунке, спектр Хартли Sh(f) даже такого простого сигнала, как гауссиан, выглядит достаточно сложно, равно как и его четная и нечетная составляющие, и мало пригоден для визуального анализа. Отметим, однако, что действительная и мнимая части преобразования Фурье, хотя и имеют определенный физический смысл, как амплитудные распределения косинусных и синусных колебаний, в качественном анализе сигналов также используются достаточно редко. Гораздо большее практическое значение для анализа имеют модуль и фаза спектра (амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристика) и спектр плотности мощности сигнала. Отметим также, что для преобразования Хартли не характерна избыточность преобразования Фурье, т. к. в общем случае вещественные функции Хартли эквивалентны сопряженным комплексным функциям Фурье.

Энергетический и фазовый спектры.

Энергетический спектр преобразования Фурье (спектр плотности мощности сигнала) задается выражением:

W(f) = A2(f) + B2(f).

       Частотный спектр плотности мощности сигнала не должен зависеть от формы математического представления спектра. Из этих соображений для вычисления энергетического спектра по спектру Хартли следует:

Wh(f)=(Shsym(f))2+(Shasym(f))2=[Sh(f)+Sh(-f)]2/4+ [Sh(f) - Sh(-f)]2/4,

  Wh(f) = [Sh2(f)+Sh2(-f)]/2.  (21.52)

       Аналогично, вычисление фазовой частотной характеристики сигнала:

φ(f) = argtg(B(f)/A(f)) = argtg(-Shasym(f)/ Shsym(f)),

  φ(f)=argtg(-[Sh(f)-Sh(-f)]/[Sh(f)+Sh(-f)]).  (21.53)

Рис. 21.22.

       На рис. 21.22. приведено продолжение вычислений для сигнала на рис. 21.21 и показаны частотные функции спектра плотности мощности и фазовой характеристики сигнала.

С учетом всех вышеприведенных выражений преобразование Хартли может рассмат­риваться как гладкая вещественная форма представления спектра вещественного сигнала.

21.10. Свойства преобразования

Линейность. Преобразование Хартли относится к числу линейных интегральных операций, т. е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

ansn(t) anShn(ω).  (21.54)

Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 21.23:

Рис. 21.23. Сигналы и их спектры.  s0(t)=s1(t)+s2(t) ⇔ S1h(f)+S2h(f) = S0h(f).

Четность и нечетность спектральных функций. Свойства четности преобразования Фурье распространяются и на преобразование Хартли. Для четных сигналов равен нулю интеграл (21.49) и в спектре Хартли отсутствует нечетная составляющая (функция Sh(f) – четная). Для нечетных сигналов равен нулю интеграл (21.48) и спектральная функция нечетная. Это можно наглядно видеть на рис. 21.24.

Рис. 21.24. Преобразование Хартли четных и нечетных функций.

       Энергетические и фазовые частотные спектры, как и для преобразования Фурье, также являются четными и нечетными соответственно.

Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее хартли-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля (рис. 21.25).

Рис. 21.25.

Действительно, если s(t) Sh(f), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), для сигнала с новым аргументом s(x) = s(at) при x=at, получаем:

s(at) s(at) cas(2πft) dt = (1/a)s(x) cas(2πfx/a) dx 

s(at) (1/a) Sh(f/a).  (21.55)

Выражение (21.55) действительно при а>0. При а<0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t=x/a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра:

s(at) -(1/a) Sh(f/a).  (21.56)

       Обобщенная формула изменения аргумента:

s(at) (1/|a|) Sh(f/a),  a ≠ 0  (21.57)

Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот, что полностью аналогично преобразованию Фурье.

Теорема запаздывания. Применяя замену переменной

t-to=x, после тригонометрических преобразований (выполнить самостоятельно) получаем (рис. 21.24):

s(t-to)s(t-to) cas(2πft) dt = cos(2πfto) Sh(f) + sin(2πfto) Sh(-f).  (21.58)

Рис. 21.26. Изменение спектра сигнала при сдвиге.

Очевидно, что амплитуды гармоник сигнала (модуль спектра) при его сдвиге изменяться не должны. Запаздывание (смещение) сигнала по аргументу функции на интервал to, как и для преобразования Фурье, приводит к изменению фазово-частотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину -2πfto. Если известна фазовая характеристика φ(f) спектра сигнала, то для определения фазовой функции сдвинутого сигнала достаточно выполнить вычисление φ(f, to) = φ(f) – 2πfto (рис. 21.27).

Рис. 21.27. Фазовая функция спектра.

Преобразование производной (дифференцирование сигнала):

s'(t) = d[s(t)]/dt = d[Sh(f) cas(2πft) df]/dt =Sh(f) [d(cas(2πft))/dt] df =

= - 2πf Sh(-f) cas(2πft) df -2πf Sh(-f).  (21.59)

  Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением зеркального изображения спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области -2πf. Умножение на 2πf приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.

Пример сигнала, его производной и соответствующих им спектров приведен на рис. 21.28.

Рис. 21.28. Спектры сигнала и его производной

       

По изменению аргумента спектра можно видеть, что для всех гармоник спектра появляется сдвиг фаз на π/2 (900) для положительных частот, и на -π/2 (-900) для отрицательных частот.

       Аналогично могут быть получены выражения для производных более высокого порядка. В частности, для второй производной:

d2[s(t)]/dt2 = -(2πf)2 Sh(f).

       Преобразование интеграла сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих соображений. Если имеет место y(t) = d[s(t)]/dt -2πf Sh(-f) = Yh(f), то должна выполняться и обратная операция:

s(t) =y(t)dt (1/2πf) Yh(-f).  (21.60)

Рис. 21.29. Спектры сигнала и его интеграла

На рис. 21.29 выполнено интегрирование сигнала  s2(t) = d[s(t)]/dt, дифференцирование которого показано на рис. 21.28, т. е. восстановление сигнала s(t). Как и в преобразовании Фурье, оператор интегрирования (1/2πf) в частотной области f>1 ослабляет гармоники высоких частот, а при f<1 усиливает низкие частоты. Фазовый спектр сигнала смещается на -900 для положительных частот и на 900 для отрицательных. При f=0 в выражении (21.60) имеется особая точка (деление на ноль), вычисление значения в которой должно выполняться путем предельного перехода (f→0).