Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 98 )

Рис. 24.31.

       Уравнения обеспечивают пирамидальный алгоритм вычисления вейвлет-коэффициентов (алгоритм Малла), приведенный на рис. 24.31. Явный вид вейвлета требуется только для расчета коэффициентов hn и gn, при самом преобразовании используются значения коэффициентов hn и gn. Уравнение (24.45) применяется при известной аналитической форме функции s(t). Для цифровых данных в качестве значений C0,k принимаются исходные значения данных, т. е. C0,k = s(k).

Сущность операций, выполняемых формулами (24.43) и (24.44), заключается в следующем. На первом этапе преобразования цифровой фильтр hn из сигнала sk = C0,k выделяет низкие частоты  |ω| ≤ π/2, а октавный фильтр gn выделяет верхние частоты π/2 ≤ |ω| ≤ π. Поскольку на выходе фильтра hn отсутствует верхняя половина частот, то частота дискретизации выходного сигнала может быть уменьшена в 2 раза, т. е. выполнена децимация выходного сигнала, что производится в формуле (24.43) сдвигами (2k+n) через 2 отсчета по входному сигналу. На выходе фильтра gn освобождается место в области низких частот, и аналогичное прореживание выходного сигнала приводит к транспонированию верхних частот на освободившееся место. Таким образом, каждый из выходных сигналов несет информацию о своей половине частот, при этом выходная информация представлена таким же количеством отсчетов, что и входная.

Реконструкция сигналов. Поскольку в формулах (24.43, 24.44) вместо базисных функций используются фильтры, то обратные преобразования, т. е. последовательную сборку сигнала от больших m к малым и реконструкцию сигналов по значениям его вейвлет-коэффициентов с любого уровня разрешения, имеет смысл также выразить через фильтры реконструкции:

Сm-1 =Cm, n hrk-2n +Dm, n grk-2n,  (24.46)

       Алгоритм вычислений по (24.46) обратен алгоритму декомпозиции, т. е. представляет собой аппроксимацию коэффициентов Cm и Dm на новый, в 2 раза меньший, шаг дискретизации с двукратным увеличением частоты Найквиста и восстановлением спектра коэффициентов Cm в низкочастотную часть нового главного диапазона спектра Cm-1, а спектра коэффициентов Dm в высокочастотную часть спектра Cm-1. Это выполняется расстановкой нулевых значений между коэффициентами Cm и Dm (увеличение в 2 раза числа отсчетов), фильтрацией полученных массивов низкочастотным hr(k) и высокочастотным gr(k) фильтрами реконструкции, и сложением результатов фильтрации. Модули частотных характеристик фильтров hr(k) и gr(k) должны повторять модули частотных характеристик фильтров h(k) и g(k). Но фильтры декомпозиции h(k) и g(k) являются односторонними и фазосдвигающими, и при реконструкции коэффициентов Cm-1 этот сдвиг фазы должен ликвидироваться. Последнее достигается реверсом значений коэффициентов фильтров декомпозиции, т. е.:

  hr(k) = reverse(h(k)),  gr(k) = reverse(g(k)).  (24.47)

Точность реконструкции сигналов зависит от потерь информации при выполнении прореживания спектров, причем эти потери наблюдаются на срезах полос пропускания фильтров низких и высоких частот, крутизна которых зависит от порядка фильтров, их согласованности, и типа вейвлетных функций.

Обязательным условием преобразования сигнала является его задание количеством точек (отсчетов), равном N=2m, где значение m≥1 определяет максимально возможное число уровней декомпозиции сигнала при целочисленных значениях кратности сдвигов операторов фильтров количеству отсчетов вейвлетных коэффициентов на каждом уровне декомпозиции. Для выполнения этого условия количество отсчетов сигнала, как правило, дополняется до ближайшего большего значения N методами, известными из практики задания начальных/конечных условий свертки (нулями, концевыми значениями сигналов, четными или нечетными значениями относительно концевых отсчетов, периодическим продолжением и т. п.). Может применяться также передискретизация исходного сигнала до необходимого количества отсчетов.

Пакетные вейвлеты. Основная информация обычно заключена в низкочастотной части сигнала, разложение которой может быть продолжено вплоть до нулевого уровня. Но аналогичная операция может применяться и к любой высокочастотной части разложения. Это соответствует замене вейвлета ψ(t) на два новых вейвлета

ψ1(t) = hnψ(t-n),  ψ2(t) = gnψ(t-n),

которые тоже локализованы в пространстве, но на вдвое более широком интервале, чем исходный вейвлет. Бинарное дерево разложения (рис. 24.31) "расщепляется" и для коэффициентов 'D' любого уровня. Такое расщепление является адаптивным и легко приспосабливается к индивидуальным особенностям сигналов. Функции адаптивного преобразования называют вейвлет-пакетом.

24.8. Фильтры дуальной декомпозиции и реконструкции сигналов

       Рассмотренные математические основы дуального вейвлет-преобразования показывают, что основную роль в реализации вейвлетных преобразований играют низкочастотные и высокочастотные фильтры декомпозиции и реконструкции сигналов.         Идеальные фильтры. Преобразование Фурье произвольной числовой последовательности {sk} является 2π - периодической функцией и определяется числовыми значениями на главном частотном диапазоне [-π, π]. При этом полагается, что шаг дискретизации данных Δt=1, а частота Найквиста сигнала sk равна  ωΝ = π/Δt = π. Передаточная функция H(ω) низкочастотного фильтра hn, удовлетворяющего условию (24.29), концентрируется в интервале  [-π/2, π/2]. При разделении сигнала на два частотных поддиапазона с полным сохранением исходной информации должно выполняться условие (рис. 24.32):

H(ω) + G(ω) = 1.  (24.28)

Рис. 24.32.

Отсюда следует, что передаточная функция G(ω) высокочастотного фильтра gn, сосредоточена на [-π, -π/2] и [π/2, π]. Соответственно, идеальные фильтры H(ω) и G(ω) в пределах главного частотного диапазона задаются выражениями:

H(ω)=, G(ω)=.  (24.49)

       Коэффициенты фильтров (обратное преобразование Фурье, рис. 24.32):

h0 = 0.5;  h2k = 0, k≠0;  h2k+1 = (-1)k/(π(2k+1));  k=0, ±1, ±2, ±3,…  (24.50)

g0 = 0.5;  g2k = 0, k≠0;  g2k+1 = (-1)k+1/(π(2k+1));  k=0, ±1, ±2, ±3,…  (24.51)

       Связь значений коэффициентов:

gn = (-1)n hn.  (24.52)

  Разложение сигнала s(k) на низкочастотную и высокочастотную части в спектральной и  временной области:

  S(ω) = H(ω)S(ω) + G(ω)S(ω) = Sh(ω) + Sg(ω).  (24.53)

s(k) = h(n) ③ s(k-n) + hg(n) ③ s(k-n) = sh(k) + sg(k).  (24.54) 

       Так как носитель функции Sh(ω) находится на интервале  [-π/2, π/2], то Sh(ω) можно разложить в ряд Фурье, как π - периодическую функцию с частотой Найквиста π/2:

  Sh2↓(ω) ↔ 2sh(2k) exp(-j 2kω),  ω∈[-π/2, π/2],  (24.55)

т. е. функция sh(k) избыточна по количеству отсчетов и может быть децимирована. Соответственно, не требуется вычислять свертку по всем нечетным значениям s(k). Двукратная децимация обычно обозначается индексом 2↓:

sh2↓(m) = sh(2k) = h(n) ③ s(2k-n) = С(m),

где m – последовательная нумерация четных отсчетов  sh(2k) (m = int(k/2)).

Учитывая периодичность частотных функций, спектр Sg(ω) можно рассматривать на интервале [0, 2π], где ненулевые отсчеты Sg(ω) находятся на интервале [π/2, 3π/2]. При аналогичном разложении Sg(ω) в этом интервале, как π - периодической функции:

  Sg2↓(ω) ↔ 2sg(2k) exp(-j 2kω),  ω∈[π/2, 3π/2],  (24.56)

sg2↓(m) = sg(2k) = g(n) ③ s(2k-n) = D(m).

       Для обратного преобразования спектров Sh2↓(ω) и Sg2↓(ω) в спектры Sh(ω) и Sg(ω) главный диапазон спектров нужно увеличить в 2 раза дополнением нулями. Во временной области эта операция может быть выполнена передискретизацией значений sh(2k) и sg(2k) с шага 2Δk на шаг Δk рядом Котельникова-Шеннона. Альтернативная более быстрая операция - обратная децимация массивов C(m) → C2↑(k) и D(m) → D2↑(k), которая выполняется дополнением массивов нулями между всеми отсчетами (обозначается индексом 2↑), с последующей фильтрацией фильтрами 2h(n) и 2g(n):

  sh(k) = 2h(n) ③ C2↑(k-n),  sg(k) = 2h(n) ③ D2↑(k-n),  (24.57)

что обеспечивает восстановление исходного сигнала:

s(k) = sh(k) + sg(k).  (24.58) 

       Реальные фильтры. Операторы идеальных фильтров, заданные в частотной области прямоугольными импульсами (24.49), имеют бесконечные импульсные характеристики (24.50, 24.51) и убывают достаточно медленно. При усечении таких операторов на частотной характеристике проявляется явление Гиббса, что увеличивает погрешности декомпозиции и реконструкции сигналов. С практической точки зрения целесообразно использовать фильтры с плавным переходом от полосы пропускания в полосу подавления, которые имеют конечное число ненулевых коэффициентов. При задании таких низкочастотных H(ω) и высокочастотных G(ω) фильтров, удовлетворяющих условию (24.48), разложение сигнала с децимацией остается без изменений. Добавляя к операторам фильтров декомпозиции индекс d, получаем: