Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 12 )

Множество L, для которого выполняются приведенные выше аксиомы, при анализе сигналов и систем может рассматриваться как специальным образом сконструированное многомерное (в пределе – бесконечномерное) геометрическое пространство. Рассмотрим это на конкретном примере.

Имеем произвольный сигнал s(t), заданный на интервале [a, b]. Дискретизируем сигнал с равномерным шагом дискретизации и переведем в цифровую форму (представим сигнал N последовательными выборками):

s = (s1, s2, … , sN).

В таком отображении величина s может рассматриваться в виде N-мерного вектора в N-мерном пространстве, в котором значения sn представляют собой проекции s-вектора на координатные оси данного пространства. Двумерный вектор в двумерном пространстве – это точка с координатами s1 и s2 на рис. 17.22. Соответственно, в трехмерном пространстве сигнал s представлен точкой в трехмерном пространстве. Представить себе N-мерное пространство при N>3 можно только абстрактно, но с математических позиций такое пространство вполне реально и N-мерный сигнал s отображается вполне определенной точкой в этом пространстве с координатами sn по осям пространства. При уменьшении интервала дискретизации сигнала до бесконечно малой величины значение N стремится к бесконечности, и пространство сигналов превращается в бесконечномерное пространство аналоговых сигналов. Следовательно, и аналоговые сигналы могут рассматриваться как предельный случай бесконечномерных векторов.

Рис. 17.22. Пространства сигналов и функций.

С учетом вышеизложенного, для математического анализа систем и сигналов в линейном пространстве может использоваться математика векторов.

В линейном пространстве L{uk; k=0,1,2,…,K} всегда можно выделить множество векторов {xk; k=0,1,2,…,K}, для которых выполняется равенство нулю их линейной комбинации

αk xk = 0  (17.17)

только при условии равенства нулю всех значений αk. Такое множество векторов называется линейно независимым. Ни один вектор этого линейно независимого множества не может быть выражен в виде какой-либо линейной комбинации других векторов этого пространства. Такое множество векторов называется базисом К-мерного пространства L{uk; K}. Линейные пространства сигналов имеют, как правило, не единственный базис. Выбор базиса определяется простотой и удобством его использования при обработке сигналов.

Пример.  Имеем множество сигналов в виде числовых последовательностей, каждая из которых состоит из N чисел (N-мерные вектор-строки). Для сигналов задано скалярное пространство чисел R = {α, 0 ≤ α ≤ 10}. При этом пространство сигналов N-мерно и может быть определено линейной комбинацией:

L = {y; y =αn xn, 0 ≤ α ≤ 10, xn – базис пространства}.

x0 = {1,0,0,0,…,0},

x1= {0,1,0,0,…,0},

x2= {0,0,1,0,…,0},

………………….

xN= {0,0,0,0,…,1},

Любой сигнал в этом пространстве определен точкой с N - координатами в базисе xn.

Основными метрическими параметрами линейного пространства являются норма, метрика и скалярное произведение сигналов.

Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов, и обозначается индексом ||s(t)|| - норма (norm). В математике существуют различные формы норм. При анализе сигналов обычно используются квадратичные нормы:

||s(t)|| =.  (17.18)

       Соответственно, для дискретных сигналов:

||s(n)|| =.  (17.19)

       Для комплексных сигналов:

||s(t)|| =,  (17.20)

где s*(t) – величины, комплексно сопряженные с s(t).

Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу пространства s(t) однозначно сопоставлена его числовая норма ||s(t)||, и выполняются следующие аксиомы:

Норма неотрицательна (||s(t)|| ≥ 0) и равна нулю тогда и только тогда, когда сигнал равен нулю (||s(t)|| = ∅, при  s(t) = ∅). Для любого числа b должно быть справедливо равенство: ||bs(t)|| = |b| ⋅ ||s(t)||. Если v(t) и u(t) – сигналы из пространства L, то должно выполняться неравенство треугольника:  ||v(t)+u(t)|| ≤ ||v(t)|| + ||u(t)||.

Пример норм для двумерных цифровых сигналов приведен на рис. 17.23.

Метрика сигналов. Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов s(t) ∈ L и v(t) ∈ L однозначно сопоставляется неотрицательное число ρ(s(t), v(t)) –  метрика (metric) или расстояние между векторами. Пример метрики для двух векторов в двумерном пространстве приведен на рис. 17.23.

Рис. 17.23. Норма и метрика сигналов.

Для метрик сигналов в метрическом пространстве любой размерности должны выполняться аксиомы:

ρ(s(t),v(t)) = ρ(v(t),s(t)) – рефлексивность метрики. ρ(s(t),s(t)) = 0  для любых  s(t) ∈ L. ρ(s(t),v(t)) ≤ ρ(s(t),a) + ρ(a, v(t)) для любых  a ∈ L.

Метрика определяется нормой разности двух сигналов (см. рис. 17.23):

ρ(s(t),v(t)) = || s(t) – v(t) ||.  (17.21)

В свою очередь норму можно отождествлять с расстоянием от выбранного элемента пространства до нулевого:  ||s(t)|| = ρ(s(t),∅).

По метрике сигналов можно судить, например, о том, насколько точно один сигнал может быть аппроксимирован другим сигналом, или насколько изменяется выходной сигнал относительно входного при прохождении через какое-либо устройство.

Рис. 17.24.

Пример.  Сигнал на интервале (0,Т) представляет собой половину периода синусоиды амплитудой A:  s(t) = A⋅sin(πt/T),  0 ≤ t ≤ T. Требуется аппроксимировать сигнал прямоугольным импульсом  п(t) (см. рис. 17.24).

Если принять амплитуду импульса п(t) равной В, то квадрат расстояния между сигналами:  ρ2(s, п) =(A sin(πt/T)-В)2 dt = A2T/2 - 4ABT/π + B2T.

Для решения задачи требуется найти минимум выражения ρ2(s, п). Дифференцируем полученное выражение по В, приравниваем нулю и, решая относительно В, находим значение экстремума: В = 2A/π ≈ 0.64А. Это искомое значение минимума функции ρ2(s, п) (вторая производная функции по В положительна). При этом минимальное значение метрики: ρmin≈ 0.31A. Вычислим нормы сигналов при А = 1:

  Еs = А2 sin2 (πt/T) dt = A2 T/2 = 10. 

Норма:  ||s(t)|| == 0.707 A≈ 3.16.

  Еп = B2 dt = B2 T ≈ 8.1.

  Норма:  ||п(t)|| = = B≈ 2.85.

Скалярное произведение произвольных сигналов u(t) и v(t) отражает степень их связи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначается как ⟨u(t), v(t)⟩.

⟨u(t), v(t)⟩ = ||u(t)||⋅||v(t)|| cos φ,  (17.22)

       Физическую сущность скалярного произведения векторов в двумерном пространстве можно видеть достаточно наглядно (рис. 17.25). Это произведение "длины" (нормы) одного вектора на проекцию второго вектора по "направлению" первого вектора.

Рис. 17.25. Скалярное произведение сигналов в двумерном пространстве.

При кажущейся абстрактности скалярного произведения сигналов оно может приобретать вполне конкретный физический смысл для конкретных физических процессов, которые отображаются этими сигналами. Так, например, если v = F – сила, приложенная к телу, а u = s – перемещение тела под действием этой силы, то скалярное произведение W = F·s определяет выполненную работу, при условии совпадения силы с направлением перемещения. В противном случае, при наличии угла φ между векторами силы и перемещения, работа будет определяться проекцией силы в направлении перемещения, т. е. W = s·F·cos φ. Вычисление скалярного произведения обычно производится непосредственно по сигнальным функциям. Поясним это на примере двумерных сигналов с использованием рисунка 17.23. Для квадрата метрики сигналов s и v имеем:

||s-v||2 = ||s||2 + ||v||2 – 2 ||s|| ||v|| cos φ = ||s||2 + ||v||2 – 2 ⟨s, v⟩.

2 ⟨s, v⟩ = ||s||2 + ||v||2 - ||s-v||2 = (s12+s22)+(v12+v22)–{(s1-v1)2+(s2-v2)2} = 2 (s1v1+s2v2).

⟨s, v⟩ = s1v1+s2v2.

Обобщая полученное выражение на аналоговые сигналы:

⟨s(t), v(t)⟩ = s(t)v(t) dt.  (17.23)

Соответственно, для дискретных сигналов в N-мерном пространстве:

⟨sn, vn⟩ =sn vn.  (17.24)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

⟨s, v⟩ ≥ 0; ⟨s, v⟩ = ⟨v, s⟩; ⟨as, v⟩ = a⟨s, v⟩,  где а – вещественное число; ⟨s+v, a⟩ = ⟨s, a⟩ + ⟨v, a⟩.

Линейное пространство аналоговых сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение - L2). Линейное пространство дискретных и цифровых сигналов - пространством Евклида (обозначение пространства - R2). В этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского (модуль косинуса в (17.22) может быть только равным или меньше 1):