Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 97 )

Vm+1 =Wm,  Wm = L2(R).  (24.32)

Таким образом, физический смысл процесса разложения пространств достаточно прост. Исходное пространство (Vm+1 на рисунке) является пространством сигналов и функций с определенным частотным диапазоном. При разложении сигнала в пространство Wm отделяются высокочастотные составляющие пространства Vm+1, а в пространстве Vm остаются его низкочастотные составляющие.

Базисный вейвлет. Детализирующие подпространства Wm в совокупности также образуют взаимно ортогональный набор и имеют свой ортонормальный базис при любом заданном значении m. Если скейлинг-функция установлена, то базисная функция детализирующего пространства, которую называют вейвлетом ("материнским"), должна иметь определенную связь со скейлинг-функцией.

Уравнение (24.27), по существу, представляет собой нормированное уравнение свертки, где hk представляет собой оператор низкочастотного фильтра:

φ(t/2) =hk ③ φ(t-k).  (24.33)

При переходе в частотную область:

φ(2ω) = H(ω) φ(ω).  (24.34)

Уравнение (24.34) является масштабирующим уравнением в частотной области и полностью определяется 2π периодической функцией H(ω). Отсюда следует, что в пространстве Wm должна сохраняться высокочастотная часть информации сигнала, что может выполняться квадратурным обращением низкочастотного фильтра:

G(ω) = - exp(-jω) H*(ω+π). (24.35) 

Фурье-образ искомого вейвлета:

Ψ(2ω) = G(ω) φ(ω).  (24.36)

При переходе во временную область:

  ψ(t/2) =gk ③ φ(t-k) = gk φ(t-k).  (24.37)

При этом значения gk могут быть вычислены и непосредственно во временной области соответствующим квадратурным обращением оператора hk:

gk = (-1)k h2M-1-k. ≡ (-1)k (hk)rev.  (24.38)

где (hk)rev – реверсированный массив оператора hk, записанный в обратном порядке. Соответственно, для вейвлета Наара эти коэффициенты равны: g0 = 1/, g1 = -1/. Именно этот вейвлет и известен, как вейвлет Хаара (рис. 24.25). В функциональном анализе он применяется с 1910 года. Масштабированные и смещенные версии скейлинг-функции и вейвлета:

φm, k = 2m/2 φ(2mt-k).

ψm, k = 2m/2 ψ(2mt-k).

       Вейвлет Хаара знакопеременен, при этом

ψ(t) dt = 0.

Условие знакопеременности является общим условием для всех "материнских" вейвлетов, которое обеспечивает безусловную устойчивость базиса при восстановлении исходного сигнала.

Разложение функций на вейвлетные ряды на заданном уровне разрешения m выполняется по формуле:

s(t) =Cm, k φm, k +Dm, k ψm, k.  (24.39)

       Значения коэффициентов (которые обычно называют суммами и разностями):

Cm, k =s(t) φm, k(t) dt.  (24.40)

Dm, k =s(t) ψm, k(t) dt.  (24.41)

       На практике значения коэффициентов определяются с помощью быстрого вейвлет-преобразования, которое будет рассмотрено ниже.

       Первая сумма в (24.39) содержит усредненные (с весовыми функциями φm, k) значения функции s(t) по диадным интервалам  [k·2-m, (k+1)·2-m], вторая – значения флюктуаций на данных интервалах. По мере возрастания значения m длина интервалов уменьшается и уровень детализации (разрешения) функции s(t) увеличивается.        На самом детальном уровне m = mmax = M ряд представлен только скейлинг-функцией и, в пределах точности разложения, практически совпадает с исходной функцией:

s(t) =CM, k φΜ,k.

       На низшем уровне разрешения (на наиболее широких интервалах) первая сумма ряда (24.39) содержит всего одно усредненное взвешенное значение сигнала, а вторая сумма показывает флюктуации на всех без исключения уровнях. Числовой ряд на каждом из уровней является "истинным" представлением сигнала с тем же объемом информации, но только в другом (вейвлетном) математическом представлении. Вейвлет-преобразованием сигнала очень часто называют полную комбинацию рядов только второй суммы (24.39), дающей представление о локальных особенностях и флюктуациях сигнала на всех уровнях разрешения, которые обычно и являются предметом изучения.        

Таким образом, выражение (24.39) показывает возможность аппроксимации любой произвольной функции s(t) набором простых локальных функций φm, k(t) и ψm, k(t), ортогональных на разных уровнях значений m и полностью покрывающих пространство L2(R) за счет смещений k. Первая сумма выражения (24.39) дает "сглаженные средние" значения функции s(t) на разных масштабных уровнях, вторая сумма вейвлетных функций добавляет к "грубой" аппроксимации сигнала все более подробные детали на все меньших масштабных интервалах.

Вычисление вейвлетных рядов. Допустим, что сигнал s(t) известен с разрешением 1, т. е. задан числовым рядом sn ≡ Cm, n в пространстве V0 с масштабом m=0, который можно рассматривать, как результат его разложения по сдвигам скейлинг-функции:

s(t) =sn φ(t-n).

Версия масштаба m-1 ортогональной проекции s(t) на подпространство V-1 будет задаваться набором скалярных произведений s(t) с функциями из базиса V-1:

Cm-1,n = ⟨s(t), (1/)φ(t/2-n)⟩.

Из уравнения (24.27) и условий ортогональности следует:

Cm-1,n =hs Cm,2n-s.

Другими словами, вычисление вейвлетных коэффициентов аппроксимации масштаба m-1 может осуществляться путем свертки коэффициентов предыдущего масштаба (m) с низкочастотным фильтром hs и прореживания вдвое, которое «встроено» в эту формулу через индекс 2n-s.

В качестве деталей сигнала s(t), исчезающих при переходе к новому масштабу m-1, следует взять компоненту s(t), ортогональную к сигналам масштаба m-1пространства V-1, и спроецировать ее на базис пространства детализирующих коэффициентов W-1:

Dm-1,n = ⟨s(t), (1/)ψ(t/2-n)⟩.

Или, с использованием уравнения (24.37):

Dm-1,n =gs Cm,2n-s.

Т. е. действует та же схема свертки аппроксимационных коэффициентов предыдущего масштаба с оператором высокочастотного фильтра и прореживания вдвое.

       Схемы последовательного масштабного разложения сигналов действуют на любых масштабах. Эту процедуру вычисления вейвлетных рядов называют быстрым вейвлет-преобразованием (БВП) или алгоритмом Малла по фамилии его автора.

24.7.  Быстрое вейвлет-преобразование

       Принцип преобразования. Любую функцию s(t) можно рассматривать на любом m' - уровне разрешения. Для разделения функции на этом уровне между ее усредненными значениями и флюктуациями вокруг средних значений преобразуем формулу 24.421 к следующему виду:

  s(t) =Cm',k φm',k(t) +Dm, k ψm, k(t).  (24.42)

       При бесконечных пределах первая сумма в этом выражении стремится к нулю и может быть опущена, давая "чистое" вейвлет-преобразование. В общем случае коэффициенты Cm, k и Dm, k можно вычислять непосредственно по формулам (24.40) и (24.41). На практике мы обычно имеем дело с цифровыми данными в виде конечного набора отсчетов, а, соответственно, наилучший уровень разрешения определен интервалом, содержащим один отсчет, и суммирование выполняется в конечных пределах. Значение m=0 обычно принимается для этого наилучшего уровня разрешения.  Для принятой нами формы вейвлетов φm, k = 2m/2 φ(2mt-k) усреднение отсчетов (расширение размеров вейвлетов) происходит при уменьшении значений m, т. е. при m = 0, -1, -2, .... Для исключения использования отрицательных индексов масштабирования знак "минус" обычно вводится непосредственно в функции вейвлетов, т. е. φm, k = 2-m/2 φ(2-mt-k), при этом вейвлет-коэффициенты вычисляются для m>0. 

       Алгоритм Малла. Кратномасштабный анализ при последовательном увеличении значений m приводит к естественной форме быстрых итерационных вычислений:

Cm+1,k = hn Cm,2k+n,  (24.43)

Dm+1,k = gn Cm,2k+n,  (24.44)

C0,k = s(t) φ(t-k) dt.  (24.45)