Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 63 )

z(n, m) = h(k, l) ** s(n-k, m-l).

При обобщении этого выражения на многомерные системы, в векторной форме:

z()= h() ** s(-).

Разделимые системы. Если импульсный отклик системы может быть разделен:

h(k, l) = h(k) h(l),  (22.12)

то выражение (22.11) принимает вид:

z(n, m) = Σk h(k) Σl h(l) s(n-k, m-l),  (22.13)

или:

  z(n, m) = Σk h(k) g(n-k, m),  g(n-k, m) = Σl h(l) s(n, m-l).

Массив g(n, m) вычисляется одномерной сверткой столбцов массива s(n, m) при n = const (сечения массива по координатам n) с откликом h(l), с последующим вычислением выходного массива z(n, m) одномерной сверткой строк g(n, m) при m = const с откликом h(k). Результат не изменится, если сначала выполнять свертку по строкам, а затем по столбцам. Система с откликом вида (22.12) называется разделимой. Отметим, что в разделимой системе входной и выходной сигнал не обязаны быть разделимыми. Аналогичные разделимые системы могут существовать и в многомерном варианте.

Устойчивость систем. Интерес для практики представляют только устойчивые системы, обеспечивающие определенный конечный результат системной операции на конечные входные сигналы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость ее импульсного отклика:  Σk Σl |h(k, l)| < .

Специальные двумерные системы. На практике используются также системы с несколькими входами и/или выходами.

Допустим, система имеет i-входы и j-выходы, линейна и инвариантна к сдвигу по переменной t. Если на i-вход системы поступает одномерный единичный импульс δi(t) при нулевых сигналах на остальных входах, то j-выходные сигналы будут импульсным откликом системы hij(t). При известном полном ансамбле значений hij для всех i-входов, для произвольной комбинации входных сигналов si(t) сигнал на j-выходе будет определяться выражением:

zj(t) = Σi Σk hij(k) si(t-k).  (22.14)

22.3. Частотные характеристики сигналов и

систем

Частотный отклик системы. Допустим, что двумерная ЛИС-система имеет импульсный отклик h(kΔx, lΔy). Подадим на вход системы сигнал вида комплексной синусоиды:

s(n, m) = exp(jnΔx⋅ωx+jmΔy⋅ωy),

где ωx и ωy – значения частоты сигнала соответственно по координатам x и y. Принимая Δx = 1, Δy = 1 и выполняя двумерную свертку (22.10), получаем:

z(n, m) =h(k, l) exp[j⋅ωx⋅(n-k)+j⋅ωy⋅(m-l)] =

= exp(jn⋅ωx+jm⋅ωy) h(k, l) exp(-jk⋅ωx-jl⋅ωy) = H(ωx,ωy) exp(jn⋅ωx+jm⋅ωy).

H(ωx,ωy) = h(k, l) exp(-jk⋅ωx-jl⋅ωy).  (22.15)

Таким образом, выходной сигнал представляет собой комплексную синусоиду с теми же значениями частоты, что и у входного сигнала, с изменением амплитуды и фазы за счет комплексного множителя H(ωx,ωy), который носит название частотного отклика (частотной характеристики) системы. Для дискретных сигналов частотный отклик периодичен с периодом 2π по обеим частотным переменным:

H(ωx+2πk,ωy+2πl) = H(ωx,ωy).

При разделимости импульсного отклика частотный отклик многомерных систем также является разделимой функцией:

h(k, l)= q(k)g(l) ⇔ Q(ωx)G(ωy)= H(ωx,ωy)

Q(ωx) = Σk q(k) exp(-jk⋅ωx). 

G(ωy) = Σl g(l) exp(-jl⋅ωy).

  Пример расчета частотного отклика системы. 

  Определить частотную характеристику системы с импульсным откликом:

h(0,0) = 0.25,  h(0,1) = 0.125,  h(1,0) = 0.125,  h(1,1) = =0.0625.

  Частотный отклик:  H(ωx,ωy) =h(n, m)exp(-jnωx-jmωy) =

= 0.25+0.125[exp(-jωx)+exp(jωx)+exp(-ωy)+exp(jωy)]+

+0.0625[exp(-jωx-jωy)+exp(-jωx+jωy)+exp(jωx-jωy)+exp(jωx+jωy)] = =0.25(1+cos ωx)(1+cos ωy).

  Система является примером двумерного фильтра нижних частот. Частотный отклик системы на плоскости (ωx,ωy), приведенный на рис. 22.8, имеет осевую симметрию с коэффициентом передачи 1 в центре (ωx=0, ωy=0) со спадом до нуля при ωx=π  и  ωy=π.

Рис. 22.8. Частотная характеристика ФНЧ.

Импульсный отклик системы. Выражение (22.15) описывает разложение функции Н(ωx,ωy) в двумерный рад Фурье с коэффициентами разложения в виде отсчетов импульсного отклика h(k, l), т. е. прямое преобразование Фурье. Очевидно, что обратным преобразованием Фурье с интегрированием в пределах одного периода из частотного отклика H(ωx,ωy) можно получить импульсный отклик системы:

h(k, l) = H(ωx,ωy) exp(jkωx+jlωy) dωxdωy.  (22.16)

  Пример расчета импульсного отклика фильтра.

  Определить импульсный отклик идеального фильтра низких частот с прямоугольной частотной характеристикой вида:  H(ωx,ωy) = 1  при |ωx|a<π, |ωy|b<π;  H(ωx,ωy) = 0 в остальных случаях.

  Импульсный отклик:  h(k, l) = exp(jkωx+jlωy) dωx dωy.

  Система разделима:  h(k, l)= exp(jkωx) dωx exp(jlωy) dωy= =⋅. 

  Пример расчета неразделимого импульсного отклика.

  Определить импульсный отклик идеального кругового фильтра нижних частот:

H(ωx,ωy) = 1 при  ωx2+ωy2 <R2<π2;  H(ωx,ωy) = 0 в остальных случаях.

  Вычисления по круговой области целесообразно выполнять в полярных координатах:  ω =, 

  φ = arctg(ωy/ωx),  ϕ = arctg(m/n), при этом выражение 22.16 перепишется в следующем виде: 

h(n, m) = ω exp[jω cos(ϕ-φ)] dφ dω =

=  ω Jo(ω) dω =  (R/2π) J1(R) /,

  где Jo(…), J1(…)- функции Бесселя 1-го рода 0-го и 1-го порядков соответственно.

  На рис. 22.9 приведена пространственная форма импульсного отклика фильтра, расчет которой проведен  при R=1 с ограничением по N=10 и M=10, и сечения отклика по координате m.

Рис. 22.9. Круговой низкочастотный фильтр (справа - сечения по координате m).

Свойства двумерного преобразования Фурье. Вышеприведенные преобразования импульсного отклика в частотный отклик и наоборот представляют собой двумерные дискретные преобразования Фурье с прямоугольным растром дискретизации информации, эквивалентные одномерным преобразованиям. На двумерные преобразования с прямоугольным растром переносятся и другие свойства одномерных систем. В частности:

1. Фурье-преобразования сигналов.

S(ωx,ωy) = Σn Σm s(n, m) exp(-jnωx-jmωy).  (22.17)

s(n, m) =S(ωx,ωy) exp(jnωx+jmωy) dωxdωy.  (22.18)