Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 64 )

2. Теорема о свертке.

z(n, m) = h(n, m) ** s(n, m) ⇔ H(ωx,ωy) S(ωx,ωy) = Z(ωx,ωy).

z(n, m) = c(n, m) s(n, m) ⇔ C(ωx,ωy) ** S(ωx,ωy) = Z(ωx,ωy).

3. Основные свойства Фурье-преобразования.

1) Линейность (в том числе для любых комплексных чисел a и b):

а⋅s(n, m)+b⋅z(n, m) ⇔ aS(ωx,ωy)+bZ(ωx,ωy).

2) Пространственный сдвиг:

s(n-N, m-M) ⇔ S(ωx,ωy) exp(-jNωx-jMωy).

3) Дифференцирование:

dS(ωx,ωy)/dωx ⇔ - jn s(n, m),

dS(ωx,ωy)/dωy ⇔ - jm s(n, m),

d2S(ωx,ωy)/(dωx dωy) ⇔ - nm s(n, m).

4) Комплексное сопряжение:

х*(n, m) ⇔ S*(-ωx,-ωy).

Вещественная и мнимая части Фурье-образов последовательностей s(n, m):

S(ωx,ωy) = S*(-ωx,-ωy).

Re [S(ωx,ωy)] = Re [S(-ωx,-ωy)].

Im [S(ωx,ωy)] = - Im [S(-ωx,-ωy)].

5) Теорема Парсеваля:

Σn Σm s(n, m) s*(n, m) = S(ωx,ωy) S*(ωx,ωy) dωx dωy.

В частности, при s(n, m) = s(n, m):

Σn Σm |s(n, m)|2 = |S(ωx,ωy)|2 dωx dωy,

где левая часть уравнения представляет собой полную энергию дискретного сигнала s(n, m), a функция |S(ωn,ωm)|2 - спектральную плотность энергии сигнала.

22.4. Дискретизация двумерных сигналов

Прямоугольный растр дискретизации. Из способов обобщения одномерной периодической дискретизации на двумерный случай наиболее простым является периодическая дискретизация в прямоугольных координатах:

s(n, m) = sa(nΔx, mΔy),

где Δx и Δy - горизонтальный и вертикальный интервалы дискретизации двумерного непрерывного сигнала sa(x, y) с непрерывными координатами x и y. Ниже значения Δx и Δy, как и в одномерном случае, принимаются равными 1. 

Дискретизация двумерного, а в общем случае и многомерного сигнала, также приводит к периодизации его спектра и наоборот. Сохраняется также и условие информационной равноценности координатного и частотного представлений дискретного сигнала при равном количестве точек дискретизации в главных диапазонах сигнала. Для прямоугольной дискретизации связь фурье-преобразований непрерывного и дискретного сигналов устанавливается аналогично одномерной дискретизации.

Интегральные преобразования Фурье аналоговых сигналов в непрерывной шкале частот Ωx и Ωy:

  Sa(Ωx,Ωy) =sa(x, y) exp(-jΩxx-jΩyy) dxdy.  (22.19)

  sa(x, y) =Sa(Ωx,Ωy) exp(jΩxx+jΩyy) dΩxdΩy.  (22.20)

Дискретные преобразования Фурье:

S(k, l) =s(n, m) exp(-jn2πk/N-jm2πl/M),  (22.21)

  S(k, l) =exp(-jn2πk/N) s(n, m) exp(-jm2πl/M),  (22.22)

  s(n, m) =S(k, l) exp(-jn2πk/N-jm2πl/M).  (22.23)

  s(n, m) =exp(-jn2πk/N) S(k, l) exp(-jm2πl/M).  (22.24)

Выражения (22.22) и (22.24) показывают, что двумерное ДПФ по прямоугольному растру дискретизации данных может вычисляться с помощью одномерных последовательных ДПФ. Вторые суммы выражений являются одномерными ДПФ сечений функций s(n, m) и S(k, l) по линиям n и k соответственно, а первые - одномерными ДПФ вычисленных функций в сечениях по m и l. Другими словами, исходные матрицы значений s(n, m) и S(k, l) пересчитываются сначала в промежуточные матрицы с ДПФ по строкам (или по столбцам), а промежуточные - в окончательные с ДПФ по столбцам (или соответственно по строкам).

Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Если непрерывный сигнал sa(x, y) является сигналом с ограниченным спектром, а периоды дискретизации выбраны достаточно малыми и спектры соседних периодов не перекрываются:

Sa(Ωx,Ωy) = 0  при |Ωx|π/Δx,  |Ωy|π/Δx,

то, как и в одномерном случае, сигнал sa(x, y) может быть восстановлен по дискретному сигналу с использованием двумерного аналога ряда Котельникова-Шеннона:

sa(x, y) = Σn Σm  s(n, m).  (22.25)

Сигнал с неограниченным спектром также может быть дискретизирован, однако в этом случае имеет место наложение спектров в смежных периодах, при этом высокие частоты, большие частоты Найквиста, будут "маскироваться", как и в одномерном случае, под низкие частоты главного периода. Эффект "отражения" от границ периода дает еще более сложную картину вследствие интерференции частот, отраженных по разным координатам.

Произвольный растр дискретизации. Понятие прямоугольной дискретизации обобщается на произвольный растр дискретизации с линейно независимыми векторами v1 = (v11,v21)T и  v2 = (v12,v22)T, где T - индекс транспонирования (рис. 22.10).

Рис. 22.10.

Координаты двумерного периодического множества отсчетов на плоскости (x, y):

x = v11n + v12m,

y = v21n + v22m.

С использованием векторных обозначений:

=

где = (x, y)T, =(n, m)T, =(v1|v2) - матрица дискретизации. Определитель матрицы не равен нулю, если вектора v1 и v2 линейно независимы. При дискретизации непрерывного сигнала sa(x, y) матрицей формируется дискретный сигнал:

s() ⇐ sa( ).

Двумерное интегральное преобразование Фурье непрерывного сигнала по непрерывному вектору = (Ω1,Ω2)T:

Sa() =sa() exp(-jT) d,  (22.26)

  sa() =Sa() exp(jT) d,  (22.27)

       Данные интегралы являются двойными, поскольку дифференциалы d и d являются векторами.

Преобразование Фурье дискретного сигнала:

  S() = Σn s() exp(-jT),  (22.28)