Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 46 )

K(τ) dτ = 0.  (20.19)

Если ковариационная функция процесса стремится к нулю при возрастании значения аргумента (τ), то процесс относится к числу эргодических, по крайней мере, относительно моментов первого и второго порядков.

Пример.  Случайная функция задана выражением Z(t)=X(t)+Y, где X(t) - стационарная эргодичная функция, Y - случайная величина, некоррелированная с X(t). Эргодична ли функция Z(t)?

mz(t) = mz(x)+my,  Kz(τ) = Kx(τ)+Dy.

Функция Z(t) стационарна, но не эргодична, так как при

τ ⇒ ∞ имеет место Kz(τ) ⇒ Dy.

По формулам (20.16-20.18) можно вычислить моменты и для детерминированных процессов. Например, для периодической функции f(t)=a sin ωt автоковариационная функция описывается выражением:

K(τ) = (a2/2) cos ωt.

Соответственно, для произвольной периодической функции, представленной рядом Фурье (разложенной по рядам Фурье):

K(τ) = (1/2)an2 cos ωnt.

Таким образом, автоковариационная функция периодической функции также является периодической функцией от аргумента τ - величины временного сдвига.

20.3. Функции спектральной плотности

       Каноническое разложение случайных функций. 

Введем понятие простейшей случайной функции, которая определяется выражением:

X(t) = X⋅φ(t),  (20.20)

где Х - обычная случайная величина, φ(t) - произвольная неслучайная функция. Математическое ожидание простейшей случайной функции:

mx(t) = M{Xφ(t)}= φ(t)⋅M{X}= φ(t)⋅mx,  (20.21)

где mx - математическое ожидание случайной величины Х. При mx = 0 математическое ожидание mx(t) также равно нулю для всех t и функция (20.20) в этом случае называется элементарной случайной функцией. Ковариационная функция элементарной случайной функции определится выражением:

Kx(t1,t2) = M{X(t1)X(t2)}= φ(t1)φ(t2)⋅M{X2}= φ(t1)φ(t2)⋅Dx.  (20.22)

где Dx - дисперсия случайной величины Х.

       Центрированную случайную функцию 0X(t) можно представить суммой взаимно некоррелированных элементарных случайных функций:

0X(t) =Xi⋅φi(t),  (20.23)

       Из взаимной некоррелированности элементарных случайных функций следует взаимная некоррелированность величин Xi. Математическое ожидание и ковариационная функция случайной функции 0X(t):

M{0X(t)}= M{Xi⋅φi(t)}= 0.

Kx(t1,t2) = M{0X(t1) 0X(t2)}= M{Xi⋅φi(t1)Xj⋅φj(t2)}= =φi(t1)φj(t2)M{XiXj}.

       В силу взаимной некоррелированности парных значений XiXj имеет место M{XiXj}= 0 при i ≠ j, и все члены суммы в последнем выражении равны нулю, за исключением значений при i = j, для которых M{XiXj}= M{Xi2}= Di. Отсюда:

Kx(t1,t2) =φi(t1)φi(t2)Di.  (20.24)

       Произвольная нецентрированная случайная функция соответственно может быть представлена в виде

X(t) = mx(t) + 0X(t) = mx(t) +Xi⋅φi(t),  (20.25)

с математическим ожиданием mx(t) и с той же самой ковариационной функцией (20.24) в силу свойств ковариационных функций, где 0X(t) - флюктуационная составляющая случайной функции X(t). Выражение (20.25) и является каноническим разложением функции X(t). Случайные величины Xi называются коэффициентами разложения, функции φi - координатными функциями разложения. При t1 = t2 из (20.24) получаем функцию дисперсии случайной функции X(t):

Dx(t) = [φi(t)]2⋅Di.  (20.26)

       Таким образом, зная каноническое разложение (20.25) функции X(t), можно сразу определить каноническое разложение (20.24) ее ковариационной функции, и наоборот. Канонические разложения удобны для выполнения различных операций над случайными функциями. Это объясняется тем, что в разложении зависимость функции от аргумента t выражается через неслучайные функции φi(t), а соответственно операции над функцией X(t) сводятся к соответствующим операциям математического анализа над координатными функциями φi(t).

       В качестве координатных функций разложения, как и при анализе детерминированных сигналов, обычно используются гармонические синус-косинусные функции, а в общем случае комплексные экспоненциальные функции exp(jωt). С учетом последнего предварительно рассмотрим особенности представления случайных функций в комплексной форме.

Комплексные случайные функции. В общем случае случайный процесс может описываться комплексной случайной функцией:

Z(t) = X(t) + jY(t),  (20.27)

где X(t) и Y(t) - действительные случайные функции. Соответственно, математическое ожидание комплексной функции:

mz(t) = mx(t)+j⋅my(t).  (20.28)

       Заметим, что комплексное представление случайных функций не более чем удобная для анализа математическая форма их отображения, которая, с использованием выражений Эйлера, всегда может быть переведена в форму вещественных функций. Функции дисперсии, корреляции и ковариации должны представлять собой однозначные и неслучайные вещественные характеристики случайных процессов и функций, независимо от формы их математического представления. Это условие будет выполняться при использовании в выражениях моментов второго порядка операций умножения комплексных функций с комплексно сопряженными функциями. Так, выражение для вычисления корреляционной функции имеет следующий вид:

Rz(t1,t2) = M{Z(t1)⋅Z*(t2)}= M{[X(t1)+jY(t1)][X(t2)-jY(t2)]}=

= M{X(t1)X(t2)+Y(t1)Y(t2)+j⋅[Y(t1)X(t2)-X(t1)Y(t2)]} =

= Rx(t1,t2) + Ry(t1,t2) + j⋅[Ryx(t1,t2) - Rxy(t1,t2)].  (20.29)

       Если действительные и мнимые части комплексной функции некоррелированы, то Ryx = Rxy = 0 и последний член выражения (20.29) также равен нулю.

       Аналогичное выражение имеет место и для ковариационной функции. При t1 = t2 = t для функции дисперсии комплексной случайной величины имеем:

Dz(t) = M{|Z(t)-mz(t)|2} = Dx(t) + Dy(t),  (20.30)

       Все приведенные выражения в общем случае могут использоваться для любых комплексных случайных функций с любым физическим смыслом переменной t.

Финитное преобразование Фурье случайных функций. По аналогии с функциями детерминированных сигналов, отдельно взятая на интервале 0-Т реализация xk(t) стационарного случайного процесса 0X(t) может быть представлена в виде ряда Фурье:

xk(t) =Vx, k(ωi) exp(jωit),    (20.31)

Vx, k(ωi) = (1/T)xk(t) exp(-jωit) dt,  (20.32)

или, в односторонней тригонометрической форме:

xk(t) = Ax, k(0) + 2(Ax, k(ωi) cos(ωit) + Bx, k(ωi) sin(ωit)),  (20.33)

  Ax, k(ωi) = (1/T)xk(t) cos(ωit) dt,  (20.34)

Bx, k(ωi) = (1/T)xk(t) sin(ωit) dt.  (20.35)

где ωi = i⋅Δω - частоты спектра, Δω = 2π/T - шаг по частоте. Выражения (20.32) обычно называют спектральными характеристиками реализаций. Из сравнения выражений (20.23) и (20.31) нетрудно сделать заключение, что выражения (20.31) относится к числу канонических разложений случайных функций, при этом спектральная характеристика Vx, k(ω), а равно и ее составляющие Ax, k(ω) и Bx, k(ω), также являются случайными функциями частоты - единичными реализациями случайных функций Vx(ω), Ax(ω) и Bx(ω). Соответственно, и частотное распределение амплитуд и фаз составляющих гармонических колебаний случайного процесса 0X(t) представляет собой случайные функции с соответствующими неслучайными функциями дисперсий.

       Если функция 0X(t) является дискретной последовательностью случайных величин 0X(n⋅Δt) в интервале по n от 0 до N, то, как это и положено для дискретных преобразований Фурье, расчет спектральных характеристик выполняется в главном частотном диапазоне (до частоты Найквиста ωN = π/Δt), с заменой в выражениях (29.32) интегрирования на суммирование по n и с соответствующим изменением пределов суммирования в выражениях (20.31). Данное пояснение сохраняется и на все дальнейшие выкладки.

       Спектральные характеристики единичных реализаций случайных процессов интереса, как правило, не представляют, и на практике используются довольно редко. Спектральная характеристика случайной функции 0X(t), как ансамбля реализаций, может быть определена осреднением функций (20.31-32) по реализациям, в результате которого мы получим те же самые функции (20.31-32), только без индексов k. При этом, в силу центрированности стационарной случайной функции 0X(t), мы должны иметь:

M{X(t)} =M{Vx(ωi)} exp(jωit) = 0,   (20.36)