Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 90 )

Огибающая сигнала x(t) существенно отличается от модулирующего сообщения, но связана с ним простым соотношением.

       Анализ каузальных систем.  Каузальная (физически осуществимая) линейная система задается односторонним импульсным откликом h(t), t ≥ 0, и имеет частотную характеристику H(f):

H(f) = X(f) - jY(f),

Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей выражения раздельно:

h(t) = x(t) + y(t),

x(t) =X(f) cos(2πft) df,

y(t) =Y(f) sin(2πft) df,

где x(t) и y(t) - четная и нечетная части функции h(t). Нечетная функция y(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией x(t):

y(t) = sgn(t)⋅x(t).  (23.146)

       Осуществляя обратное преобразование Фурье обеих частей равенства (23.146) при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) ⇔ - j/(πf)), получаем:

TF[y(t)] = (-j/πf) * X(f) = (-j/π)[X(u)/(f-u)] du.

Отсюда:

Y(f) = (1/π)[X(u)/(f-u)] du = ТН[X(f)],

т. е. мнимая часть спектра импульсного отклика каузальной системы (и любой каузальной функции) является преобразованием Гильберта действительной части спектра. Соответственно, уравнение для определения действительной компоненты спектра по мнимой части:

X(f) = - ТН[Y(f)] = -(1/π)[Y(u)/(f-u)] dv.

23.21. Преобразование Гильберта

       Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз  всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90о (сдвиг на π/2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов, выполнять анализ каузальных систем обработки сигналов.

Определение преобразования.  Прямое преобразование Гильберта произвольной действительной функции x(t), -∞<t<∞, результат которого будем отображать со знаком тильды над индексом исходной функции, задается сверткой x(t) с функцией hb(t) = 1/(πt):

(t) = ТН[x(t)] = x(t) * (1/πt),

(t) = .  (23.147)

       Функция 1/(t-τ) называется ядром преобразования Гильберта. Обратное преобразование Гильберта определяется выражением:

x(t) = -  (23.148)

Интегралы преобразования имеет особую точку a = t-τ ⇒ 0, в которой при вычислении используется их главное значение по Коши:

[... +...].

Оператор Гильберта определен по аргументу от -∞ до ∞ и имеет полюс в точке t=0 с разрывом значений от -∞ до ∞.  Основной участок формы оператора Гильберта и пример преобразования сигнала приведены на рис. 23.59. Функции x(t) и (t) обычно называют сопряженными по Гильберту.

Рис. 23.59.

Спектральная характеристика преобразования. Выполним преобразование Фурье функции (17.1.1). В общей форме:

(f) = TF[(t)] = X(f) ⋅ Hb(f),  (23.149)

(f) =(t) exp(-j2πft) dt.  (23.150)

       Заметим, что произведение X(f)⋅Hb(f) не является преобразованием Гильберта спектральной функции X(f). Это не более чем преобразование Фурье свертки функций: x(t)*hb(t) ⇔ X(f)⋅Hb(f), которое позволяет вычислить результат преобразования Гильберта во временной области через частотную область:

(t) =(f)⋅exp(j2πft) df =X(f)⋅Hb(f)⋅exp(j2πft) df.

Функция hb(t)=1/πt является нечетной, а спектр этой функции, представленный только мнимой частью, является обратной сигнатурной функцией (рис. 23.60):

Hb(f) = TF[1/πt] = - j⋅sgn(f) =   (23.151)

Рис. 23.60.

       Соответственно, формулы (23.147) задают преобразование сигнала x(t) системой, частотная передаточная характеристика которой отображается функцией - j⋅sgn(f). Фурье-образ функции (t):

(f) = - j sgn(f)⋅X(f).  (23.152)

       Изменение спектра сигналов при выполнении преобразования Гильберта. На рис. 23.61 приведено преобразование радиоимпульсного сигнала x(t) с несущей частотой fo в сигнал (t) во временной области непосредственно через операцию свертки по (23.147). 

Рис. 23.61.

Сигнал x(t) является односторонним каузальным. Спектр сигнала содержит реальную и мнимую составляющие, т. е. может быть записан в виде X(ω) = Re(X(ω)) + j⋅Im(X(ω)). Эти составляющие для сигнала x(t)  показаны непрерывными кривыми на рис. 23.62.

Рис. 32.62.

При выполнении преобразования (23.152) реальная и мнимая части спектра X(ω) умножаются на - j⋅sgn(ω). Функция Re(X(ω)) умножается на 1 при ω<0, на 0 при ω=0 и на –1 при ω>0, и тем самым превращается в нечетную мнимую часть Im((ω)) спектра (ω) функции (t), показанную пунктиром. Это означает, что все косинусные гармоники сигнала, которым соответствует реальная часть спектра сигнала, превращаются в синусные гармоники.

Аналогично на функцию - j⋅sgn(ω) умножается и мнимая функция  j⋅Im(X(ω)), при этом сигнатурная функция инвертируется  (-j⋅j = 1), что меняет знак левой части функции Im(X(ω)) – области отрицательных частот, и превращает ее в реальную четную часть Re((ω)) спектра (ω). Синусные гармоники спектра сигнала превращаются в косинусные гармоники.

Угол, на который изменяется фаза гармоник, можно определить из следующих соображений. Частотную характеристику Hb(f) (23.151) можно записать в следующем виде:

Hb(f) = |Hb(f)|⋅exp(jφh(f)),  где |Hb(f)| = 1.

Hb(f) = - j⋅sgn(f) = ,  (23.153) 

       Если спектр функции x(t) также представить в виде

X(f) = |X(f)|⋅exp(jφx(f)),

то выражение (23.149) преобразуется к следующей форме:

(f) = |X(f)|⋅exp(jφx(f))⋅exp(jφh(f)) = |X(f)|⋅exp[j(φx(f)+φh(f))],  (23.154)

т. е. амплитудный спектр сигнала (t) – как результат преобразования Гильберта сигнала x(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала x(t). Фазовый спектр сигнала (t) (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90о при f > 0 и на 90о при f < 0 относительно фазового спектра сигнала x(t). Но такой фазовый сдвиг и означает не что иное, как превращение косинусных гармоник в синусные, а синусных в косинусные. Последнее нетрудно проверить на единичной гармонике.

       Если x(t) = cos(2πfot), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:

  (t) = H[x(t)] ⇔ TF[H[x(t)]] = - j sgn(f)⋅[δ(f+fo)+δ(f-fo)]/2.  (23.155)