Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 49 )

Rzx(τ) = Rxz(-τ) ≡ Rx(τ) ③ h(τ+α).  (20.60)

       Отметим, что для статистически независимых случайных величин при одностороннем импульсном отклике h(τ) = 0 при τ<0 функция Rxz(τ) также является односторонней, и равна 0 при τ<0, а функция Rzx соответственно равна 0 при τ>0.

       Спектральные соотношения, которые характеризуют систему в целом по отношению к преобразованию случайных сигналов, это соотношения спектральных плотностей случайных сигналов (спектров мощности) на входе и выходе.

Применяя преобразование Фурье к выражениям (20.57), для спектра мощности выходного сигнала получаем:

Sz(f) = Sx(f) |H(f)|2.  (20.61)

Спектр мощности случайного сигнала на выходе системы равен спектру мощности входного сигнала, умноженному на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. С учетом четности ковариационных функций спектр мощности выходного сигнала также является четной действительной функцией и содержит только амплитудную характеристику системы.

Аналогично, для взаимного спектра мощности сигналов на основе выражений (20.59-20.60) имеем:

Sxz(f) = Sx(f) H(f),  Szx(f) = Sx(f) H(-f).  (20.62)

       Взаимный спектр сигналов при одностороннем импульсном отклике является комплексным, и содержит как амплитудную, так и фазовую характеристику системы.

       Отметим, что с использованием выражения (20.62) можно производить определение частотной характеристики и импульсного отклика системы:

H(f) = Sxz/Sx ⇔ h(t).

Дисперсия выходного сигнала может быть определена с использованием формул (20.56-61) по функциям ковариации:

σz2 = Kz(0)=Sx(f) |H(f)|2 df ≡ Kx(0)h2(t) dt = σx2h2(t) dt,(20.63)

Если сигнал нецентрированный и значение дисперсии входного сигнала неизвестно, то по аналогичным формулам вычисляется сначала средний квадрат выходного сигнала или так называемая средняя мощность сигнала:

  == Rz(0) ≡ h2(t) dt ≡Sx(f) |H(f)|2 df.  (20.64)

       Средняя мощность выходного сигнала равна средней мощности входного сигнала, умноженной на квадрат площади импульсной реакции системы (для цифровых систем - сумму квадратов коэффициентов импульсного отклика). Для центрированных случайных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов. Для нецентрированных выходных сигналов:

σz 2 = - 2 ≡ (-2)h2(t) dt.  (20.65)

       Функция когерентности дает оценку точности принятой линейной модели системы. Когерентность входного и выходного сигналов системы оценивается по формуле:

γxz2(f) = |Sxz(f)|2/[Sx(f)⋅Sz(f)].  (20.66)

       Если функции Sx(f) и Sz(f) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то для всех частот f значения функции когерентности заключены в интервале:

0  ≤ γxz2(f) ≤ 1.

       Для исключения дельта-функций на нулевой частоте определение функции когерентности производится по центрированным сигналам. Для линейных систем с постоянными параметрами функция когерентности равна 1, в чем нетрудно убедиться, если в формулу (20.66) подставить выражения Sxz и Sz, определенные через Sx  в формулах (20.61-62). Для совершенно не связанных сигналов функция когерентности равна нулю. Промежуточные между 0 и 1 значения могут соответствовать трем ситуациям:

       1. Система осуществляет преобразование x(t) ⇒ z(t), но в измерениях этих сигналов или одного из них присутствует внешний шум. Так, например, в сигналах, зарегистрированных с ограничением по разрядности, появляется шум квантования (округления значений).

       2. Система не является строго линейной. Это может наблюдаться, например, при определенном ограничении по разрядности вычислений в цифровых системах, при накоплении ошибки в рекурсивных системах и т. п.

       3. Выходной сигнал z(t) помимо x(t) зависит еще от каких-то входных или внутренних системных процессов.

       Величина 1-γxz2(f) задает долю среднего квадрата сигнала z(t) на частоте f, не связанную с сигналом x(t).

       Аналогично можно вычислить функцию когерентности двух реализаций x(t) и y(t). Значения функции будут указывать на степень линейной зависимости одной реализации от другой, хотя это и не означает обязательности наличия какой-либо причинно-следственной связи между реализациями. Функция когерентности γxy сохраняется при точных однотипных линейных преобразованиях функций x(t) и y(t), что позволяет производить ее определение без измерения самих величин x(t) и y(t).

       Преобразования случайных функций.

       Сложение случайных функций. При сложении случайных функций, в общем случае, с произвольными постоянными коэффициентами а и b, и образовании случайной функции суммы  Z(t)= a⋅X(t) + b⋅Y(t), функция математического ожидания процесса Z(t):

  mz(t)= M{Z(t)}= M{aX(t)+bY(t)}= a⋅M{X(t)}+b⋅M{Y(t)}=  =a⋅mx(t)+b⋅my(t).  (20.67)

Корреляционная функция суммы вычисляется аналогично, и равна:

Rz(t1,t2) = M{Z(t1)⋅Z(t2)}= M{[aX(t1)+bY(t1)][aX(t2)+bY(t2)]}=

= M{a2X(t1)X(t2)+b2Y(t1)Y(t2)+⋅ab[X(t1)Y(t2)+Y(t1)X(t2)]} =

  = a2Rx(t1,t2)+b2Ry(t1,t2)+ab⋅[Rxy(t1,t2)+Ryx(t1,t2)].  (20.68)

       Для некоррелированных функций X(t) и Y(t) функции взаимной корреляции Rxy и Ryx обнуляются. Аналогичную форму записи имеют и ковариационные функции (как частный случай корреляционных функций при центрировании случайных процессов). Выражения легко обобщаются  на сумму любого числа случайных функций. В частности, для корреляционной функции стационарной случайной функции Z(t) = aiXi(t) при t2-t1 = τ  имеем:

Rz(τ) = ai2Rxi(τ) +aiajRxixj(τ).  (20.69)

       При сложении случайной функции X(t) с неслучайной функцией y(t) математическое ожидание и корреляционная функция суммы Z(t)=X(t)+y(t) равны:

mz(t) = mx(t) + y(t),  Rz(t1,t2) = Rx(t1,t2).  (20.70)

       При сложении случайной функции X(t) с некоррелированной случайной величиной Y математическое ожидание и корреляционная функция суммы Z(t)=X(t)+Y:

mz(t) = mx(t) + my,  Rz(t1,t2) = Rx(t1,t2) + Dy.  (20.71)

       Произведение случайной и неслучайной функций X(t) и f(t). Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала:

mz(t) = M{Z(t)}= M{f(t)⋅X(t)}= f(t)⋅M{X(t)}= f(t)⋅mx(t).  (20.72)

Rz(t1,t2)=M{f(t1)X(t1) f(t2)X(t2)}= f(t1)f(t2)M{X(t1)X(t2)}=

= f(t1)f(t2)⋅Rx(t1,t2).  (20.73)

       Если f(t) = const = C и Z(t) = C⋅X(t), то соответственно имеем:

mz(t) = С⋅mx(t),  Rz(t1,t2) = С2⋅Rx(t1,t2).  (20.74)

       Производная от случайной функции  Z(t) = dX(t)/dt. Если функция X(t) является непрерывной и дифференцируемой, то математическое ожидание производной:

mz(t) = M{Z(t)} = M{dX(t)/dt} = d(M{X(t)})/dt = dmx(t)/dt,  (20.75)

т. е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания. Для корреляционной функции имеем:

  Rz(t1,t2) = =M{(dX(t1)/dt1)(dX(t2)/dt2)}=

  =M{X(t1)X(t2)}=Rx(t1,t2),  (20.76)

т. е. корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной частной производной от корреляционной функции исходной случайной функции.

       Интеграл от случайной функции  Z(t) =X(v)dv.

mz(t) = M{Z(t)} = M{X(v)dv} = M{X(v)}dv = mx(v)dv, (20.77)

т. е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания. Для корреляционной функции имеем:

Rz(t1,t2) = M{X(t1)dt1X(t2)dt2} = M{X(t1)X(t2)dt1dt2} =