Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 56 )

y(t)⋅y(t+τ) = h(α)h(β) x(t-α)x(t+τ-β) dα dβ.

       Если взять математические ожидания от обеих частей этого равенства, то, с учетом соотношения в подынтегральном  выражении

M{x(t-α) x(t+τ-β)} = - Rx(t-α-t-τ+β) = Rx(τ+α-β),

получим:

Ry(τ) = h(α)h(β) Rx(τ+α-β) dα dβ ≡ Rx(τ) * h(τ+α) * h(τ-β). (21.26)

       Таким образом, функция автокорреляции (АКФ) выходного сигнала равна АКФ  входного сигнала, свернутой дважды, в прямом и обратном направлении, с импульсным откликом системы, что сохраняет четность АКФ выходного сигнала. Для нецентрированных процессов аналогичное заключение действительно и для ковариационных функций.

       Заметим, что для свертки импульсных откликов, производя замену τ-β = t, мы имеем равенство:

h(τ+α) * h(τ-β) = h(t+α+β) * h(t) = h(t) * h(t+γ) = Kh(t),

где Kh(t) - функция ковариации импульсного отклика системы. Отсюда:

Ry(τ) = Rx(τ) * Kh(τ).  (21.27)

       Это означает появление в случайном сигнале на выходе системы определенной корреляционной зависимости, вызванной инерционностью системы, причем радиус корреляции выходного сигнала обратно пропорционален верхней частоте, пропускаемой системой.

       Для взаимной корреляционной функции (ВКФ) Rxy входного и выходного сигналов соответственно имеем:

x(t)⋅y(t+τ) = h(α) x(t)y(t+τ-α) dα.

Rxy(τ) = h(α) Rx(τ-α) dα ≡ Rx(τ) * h(τ-α). (21.28)

т. е. функция взаимной корреляции входного и выходного сигналов равна свертке АКФ входного сигнала с функцией импульсного отклика системы - фильтрации АКФ сигнала этим же фильтром. Заключение действительно и для функций ковариации.

       Другая взаимно корреляционная функция Ryx может быть получена из соотношения:

Ryx(τ) = Rxy(-τ) ≡ Rx(τ) * h(τ+α).  (21.29)

       Отметим, что для статистически независимых случайных величин при одностороннем импульсном отклике h(τ)=0 при τ<0 функция Rxy(τ) также является односторонней и равна 0 при τ<0, а функция Ryx соответственно равна 0 при τ>0.

       Спектральные соотношения, которые характеризуют систему в целом по отношению к преобразованию случайных сигналов, это соотношения частотных плотностей распределения мощности случайных процессов на входе и выходе, которые для краткости обычно называют спектральными плотностями процессов (сигналов) или спектрами мощности.

Применяя преобразование Фурье к выражениям (21.26), для спектра мощности выходного сигнала получаем:

Wy(f) = Wx(f) |H(f)|2.  (21.30)

Спектр мощности сигнала на выходе системы равен спектру мощности входного сигнала, умноженному на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. С учетом четности корреляционных функций спектр мощности выходного сигнала также является четной действительной функцией и не имеет фазовой характеристики процесса.

Аналогично, для взаимного спектра мощности на основе выражений (21.28-29):

Wxy(f) = Wx(f) H(f).  (21.31)

  Wyx(f) = Wx(f) H(-f).

       Взаимный спектр мощности при одностороннем импульсном отклике является комплексным и содержит как амплитудную, так и фазовую характеристику процесса.

       Отметим, что с использованием выражения (21.31) можно производить определение частотной характеристики и импульсного отклика системы:

H(f) = Wxy/Wx ⇔ h(t).

Дисперсия выходного сигнала может быть определена с использованием формул (21.26-30):

σy2 = Ry(0) = Wx(f) |H(f)|2 df ≡ Rx(0) h2(t) dt = σx2 h2(t) dt,  (21.32)

что полностью соответствует полученной ранее формуле (21.30) для цифровой системы.

Если сигнал нецентрированный и значение дисперсии входного сигнала неизвестно, то по аналогичным формулам вычисляется сначала средний квадрат выходного сигнала или так называемая средняя мощность сигнала:

== Ry(0) ≡ h2(t) dt ≡ Wx(f) |H(f)|2 df,  (21.33)

       Вывод: средняя мощность выходного сигнала равна средней мощности входного сигнала, умноженной на модуль квадрата площади импульсной реакции системы (для цифровых систем - сумму квадратов коэффициентов импульсного отклика). Для центрированных случайных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов. Для нецентрированных выходных сигналов:

σy2 = - 2 ≡ (-2) h2(t) dt.  (21.35.)

       Функция когерентности дает оценку точности принятой линейной модели системы. Когерентность входного и выходного сигналов системы оценивается по формуле:

γxy2(f) = |Wxy(f)|2/[Wx(f)⋅Wy(f)].  (21.36)

       Если функции Wx(f) и Wy(f) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то для всех частот f значения функции когерентности заключены в интервале:

0  ≤ γxy2(f) ≤ 1.

       Для исключения дельта-функций на нулевой частоте (постоянная составляющая сигнала) определение функции когерентности производится по центрированным сигналам. Для линейных систем с постоянными параметрами функция когерентности равна 1, в чем нетрудно убедиться, если в формулу (21.35) подставить выражения Wxy и Wy, определенные через Wx  в формулах (21.35-36). Для совершенно не связанных сигналов функция когерентности равна нулю. Промежуточные между 0 и 1 значения могут соответствовать трем ситуациям:

       1. Система осуществляет преобразование x(t) ⇒ y(t), но в измерениях этих сигналов или одного из них присутствует внешний шум. Так, например, в сигналах, зарегистрированных с ограничением по разрядности, появляется шум квантования (округления значений).

       2. Система не является строго линейной. Это может наблюдаться, например, при определенном ограничении по разрядности вычислений в цифровых системах, при накоплении ошибки в рекурсивных системах и т. п.

       3. Выходной сигнал y(t) помимо x(t) зависит еще от каких-то входных или внутренних системных процессов.

       Величина 1-γxy2(f) задает долю среднего квадрата сигнала y(t) на частоте f, не связанную с сигналом x(t).

21.7. Структурные схемы систем

Структурные схемы. Алгоритмы обработки сигналов в системах наглядно отображаются в виде структурных схем. Базовые элементы схем и примеры построения структурных схем приводились ранее на рис. 21.1-3. Как правило, структурные схемы соответствуют программной реализации систем и будут рассматриваться ниже применительно к цифровым системам, но не определяют аппаратной реализации в специальных радиотехнических устройствах, которая может существенно отличаться от программной реализации, особенно для аналоговых систем.

Рис. 21.7. Структурная схема и граф системы.

Графы систем. Наряду со структурной схемой система может быть представлена в виде графа, который отображает диаграмму прохождения сигналов и состоит из направленных ветвей и узлов.

Пример структурной схемы системы с передаточной функцией H(z)=(1+b1z)/(1+a1z) и графа, ей соответствующего, приведен на рисунке 21.7. С каждым i узлом графа связано значение сигнала xi(k) или его образа Xi(z), которые определяются суммой всех сигналов или их z-образов входящих в узел ветвей. В каждой ij - ветви (из узла i в узел j) происходит преобразование сигнала в соответствии с передаточной функцией ветви, например, задержка сигнала или умножение на коэффициент.

Соединения систем. Различают следующие соединения систем (рис. 21.8-10).

1. Последовательное соединение. Выходной сигнал предшествующей системы является входным для последующей. Эквивалентная передаточная функция общей системы равна произведению передаточных функций систем, в нее входящих: 

H(z) = H1(z)⋅H2(z)⋅...⋅HN(z).

Рис. 21.8.

2. Параллельное соединение. Сигнал подается на входы всех параллельно соединенных систем одновременно, выходные сигналы систем суммируются. Эквивалентная передаточная функция общей системы равна сумме передаточных функций систем, в нее входящих: