Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 16 )

На интервале [-π, π] рассмотрим систему следующих гармонических функций:

{1, sin t, sin 2t, …, sin kt},  k = 1, 2, 3, …  (17.45)

       Вычислим нормированные на интервал скалярные произведения системы:

⟨1, sin kt⟩∇ =(1/2π)sin kt dt = (1/2kπ) [cos kπ - cos(-kπ)] = 0,

k = 1, 2, 3, …

⟨sin mt, sin nt⟩∇ =(1/2π)sin mt sin nt dt =(1/4π){cos (m+n)t – cos (m-n)t} dt =

= = 0,  при m ≠ n.

       Следовательно, система (17.45) является системой взаимно ортогональных функций. Норма функций:

||sin kt||2=(1/2π)sin2 kt dt= (1/4π)(1-cos 2kt) dt==1/2.

||sin kt||∇ = 1/,  k = 1, 2, 3, …

Соответственно, для превращения системы (17.45) в ортонормированную следует разделить все функции системы на значение нормы (рис. 17.29):

{1, uk(t) =sin kt},  k = 1, 2, 3, …  (17.46)

Рис. 17.29. Ортонормированный базис гармонических функций.

Аналогичным образом можно убедиться в ортонормированности косинусной системы гармонических функций:

{1, uk(t) =cos kt},  k = 1, 2, 3, …,  (17.47)

и объединенной синус-косинусной системы:

{1, uk(t) =sin kt, uk(t) =cos kt},  k = 1, 2, 3, …  (17.48)

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p=jf (преобразование Фурье) и p=s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(jωt) = cos(ωt) + j sin(ωt),  exp(-jωt) = cos(ωt) - j sin(ωt),

cos(ωt) = [ехр(jωt)+exp(-jωt)]/2,  sin(ωt) = [ехр(jωt)-exp(-jωt)]/2j

всегда можно перейти к вещественным синус-косинусным функциям. Термин "частотное разложение" обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т. е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т. к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной "х", как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту - число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.

Рис. 17.30. Функции Уолша.

Ортонормированная система функций Уолша, по существу, является предельной модификацией системы периодических функций с кратными частотами, при этом функции принимают значения только ±1. Пример четырех первых функций Уолша на интервале Т от –0,5 до 0,5 приведен на рис. 17.30. Ортогональность и нормированность функций следует из принципа их построения. Стандартное математическое обозначение функций Уолша:  wal(k, х), где k = 0,1,2, … – порядковый номер функции, х = t/T – безразмерная координата (нормированная на интервал Т независимая переменная).

Наряду с функциями Уолша применяются также две связанные с ними системы: четные и нечетные функции cal(n, х) = wal(2n, х),  – аналогичные косинусам, и sal(n, х) = wal (2n-1,х), – аналогичные синусам.

При разложении сигналов форма спектров Уолша практически тождественна спектрам гармонических функций.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье по гармоническим функциям. Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (17.43) в выражение (17.32):

Es =s2(t) dt =cmcnumun dt =

  =cmcn umun dt.  (17.49)

В этом выражении, в силу ортонормированности базисной системы, отличны от нуля только члены с номерами m = n. Отсюда:

Es =s2(t) dt =cn2,  (17.50)

т. е. при корректном разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье энергия сигнала не изменяется, и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.

17.8.Функции корреляции сигналов

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время τ:

Bs(τ) = s(t) s(t+τ) dt.  (17.51)

       Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига τ. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при τ=0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала:

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-τ в выражении (17.51):

  Bs(τ) =s(t-τ) s(t) dt = s(t) s(t-τ ) dt = Bs(-τ).  (17.52)

       С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений τ. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +τ в выражении (17.51) означает, что при увеличении значений τ копия сигнала s(t+τ) сдвигается влево по оси t и уходит за 0, что требует соответствующего продления сигнала в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания τ обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т. е. применение в выражении (17.51) функции s(t-τ) вместо s(t+τ ).

По мере увеличения значения величины сдвига τ для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается и скалярное произведение в целом стремятся к нулю.

Пример.  На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤τ≤T сигналы перекрываются на интервале от τ до Т. Скалярное произведение:

Bs(τ) =A2 dt = A2(T-τ).

При сдвиге копии импульса влево, при - T≤τ<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-τ. Скалярное произведение: 

Bs(τ) = A2 dt = A2(T+τ).

       При |τ| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).

       Обобщая вычисления, можем записать:

Bs(τ) =.

       В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах периода:

Bs(τ) = (1/Т)s(t) s(t-τ) dt.

       При τ=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т.  АКФ периодических сигналов при этом также является периодической функцией с тем же периодом Т.  Для однотонального гармонического сигнала это очевидно. Первое максимальное значение АКФ будет соответствовать τ=0. При сдвиге копии сигнала на четверть периода относительно оригинала подынтегральные функции становятся ортогональными друг другу (cos ωo(t-τ) = cos (ωot-π/2) ≡ sin ωot) и дают нулевое значение АКФ. При сдвиге на τ=T/2 копия сигнала по направлению становится противоположной самому сигналу и скалярное произведение достигает минимального значения. При дальнейшем увеличении сдвига начинается обратный процесс увеличения значений скалярного произведения с пересечением нуля при τ=3T/2 и повторением максимального значения при τ=T=2π/ωo (cos ωot-2π копии ≡ cos ωot сигнала). Аналогичный процесс имеет место и для периодических сигналов произвольной формы (рис. 17.31).