Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 55 )

Устойчивость систем. Любая практическая система должна быть устойчивой, т. е. для сигналов, конечных по энергии или средней мощности, выходные сигналы также должны быть конечными по этим параметрам. Система называется устойчивой, если при любых начальных условиях реакция системы на любое ограниченное воздействие также ограничена.

Для конечного по энергии входного сигнала, можно записать:

|y(t)| ≤ |h(τ)||x(t-τ)| dτ = Α |h(τ)| dτ.

       Отсюда следует условие, при котором выходной сигнал также будет ограниченным:

|h(τ)| dτ < ∞, (21.19)

т. е. необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная сходимость ее импульсной характеристики, или, для цифровых систем, абсолютная суммируемость импульсного отклика:

|h(n)| < ∞.  (21.20)

Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе значение H(z) должно быть конечным во всех точках z-плоскости, где |z| ≤ 1, а, следовательно, передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) при z ≤ 1 (на и внутри единичного круга на z-плоскости). Полюсы определяются корнями многочлена знаменателя передаточной функции H(z).

  Пример.

  Передаточная функция РЦФ: H(z)=1/(1+1.25z). 

Корни знаменателя:  z = -0,8. |z| < 1.

  Фильтр неустойчив.

  Передаточная функция: H(z) = (1-z3)/(1-0.6z+0.25z2). 

Корни:  z1,2 = 1.2+1.6j.  |z| = 2 > 1. 

  Фильтр устойчив.

Приведенный критерий устойчивости относится к несократимой дроби, т. к. в противном случае возможна компенсация полюса нулем передаточной функции и следует проверить наличие однозначных нулей и полюсов.

Проверка на устойчивость требуется только для рекурсивных цифровых фильтров (систем с обратной связью), нерекурсивные системы всегда устойчивы.

21.5. Частотные характеристики систем

Передаточная функция. Для линейных систем, принимая в качестве сигнала на входе системы собственную функцию

x(kΔt) = B(ω)exp(jωkΔt), мы вправе ожидать на выходе системы сигнал y(kΔt) = A(ω)exp(jωkΔt). Подставляя эти выражения в разностное уравнение системы (21.3), получаем:

am A(ω)exp(jωkΔt-jωmΔt) =bn B(ω)exp(jωkΔt-jωnΔt).

A(ω)exp(jωkΔt)am exp(-jωmΔt) = B(ω)exp(jωkΔt)bn exp(-jωnΔt).

A(ω)am exp(-jωmΔt) = B(ω)bn exp(-jωnΔt).  (21.21)

Отсюда, частотная  передаточная функция системы (частотная характеристика при нормировке к ао=1):

H(ω) = A(ω)/B(ω) =bn exp(-jωnΔt)[1+am exp(-jωmΔt)]. (21.22)

Нетрудно убедиться, что подстановкой z=exp(-jωΔt) в выражение передаточной функции H(z) (21.15) может быть получено абсолютно такое же выражение для частотной характеристики, т. е.:

H(ω) ≡ H(z)  при  z = exp(-jωΔt).

       При обратном преобразовании H(z) во временную область с использованием выражений (21.17-18) отсюда следует также, что частотная характеристика системы представляет собой Фурье-образ ее импульсной реакции, и наоборот. При Δt = 1:

H(ω) =h(n) exp(-jωn),  (21.23)

h(n) = (1/2π)H(ω) exp(jωn) dω.  (21.24)

В общем случае H(ω) является  комплексной функцией, модуль которой R(ω) называется амплитудно-частотной характеристикой системы (АЧХ), а аргумент φ(ω) - фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

A(ω) = |H(ω)| = .

φ(ω) = arctg(Im H(ω)/Re H(ω)).

       Физический смысл частотной характеристики системы достаточно прост. Произвольный сигнал на входе системы может рассматриваться в виде суммы гармонических составляющих с различным набором амплитуд и начальных фазовых углов. Амплитудно-частотной характеристикой системы устанавливаются коэффициенты усиления системой (коэффициенты передачи) этих частотных составляющих, а фазочастотной характеристикой - сдвиг фаз этих частотных составляющих  в выходном сигнале относительно начальных фаз во входном сигнале.

Основные свойства частотных характеристик систем:

1. Частотные характеристики являются непрерывными функциями частоты.

2. При дискретизации данных по интервалам Δt функция H(ω) является периодической. Период функции H(ω) равен частоте дискретизации входных данных F=1/Δt. Первый низкочастотный период (по аргументу ω от -π/Δt до π/Δt, по f от -1/2Δt до 1/2Δt) называется главным частотным диапазоном передачи сигнала. Граничные частоты главного частотного диапазона соответствуют частоте Найквиста ±ωN, ωN = π/Δt. Частота Найквиста определяет предел частотной разрешающей способности системы по обработке данных.

3. Для систем с вещественными коэффициентами импульсной реакции h(nΔt) функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ - нечетной. С учетом этого частотные характеристики систем обычно задаются только на интервале положительных частот 0-ωN главного частотного диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно сопряженными со значениями на интервале положительных частот.

21.6. Реакция систем на случайные сигналы

       Если сигнал на входе линейной системы является детерминированным, то, при известных параметрах системы, его соотношение с выходным сигналом является однозначным. Таким же однозначным является соотношение процессов на входе и выходе и для случайных сигналов, однако в силу природы последних явное представление, как входного сигнала, так и отклика системы, не представляется возможным. Для описания отклика системы необходимо использовать статистический подход. При рассмотрении материала данного раздела ограничимся только физически реализуемыми системами с односторонним импульсным откликом h(t) (h(t)=0 при t<0) и соответствующей частотной характеристикой H(f). Если параметры входного сигнала специально не оговариваются, то по умолчанию принимается, что на вход системы поступает реализация случайного стационарного процесса x(t) с нулевым средним и вызывает сигнал y(t) на выходе системы.

       Квазидетерминированный сигнал в какой-то мере позволяет оценить сохранение однозначности преобразования системой случайных сигналов.

        Допустим, что система имеет импульсный отклик h(t) = exp(-at), t ≥ 0. Квазидетерминированный случайный сигнал стационарен, не обладает свойством эргодичности, но может быть описан в явной математической форме. Зададим сигнал на входе системы следующего вида:

x(t) = A + cos(2t+φ),

где A и φ - взаимно независимые случайные величины, причем φ равномерно распределена в интервале [0, 2π]. Выходной сигнал определится выражением:

y(t) = h(τ) * x(t-τ) ≡ h(τ)⋅x(t-τ) dτ =

=A/3 + [3 cos(2t+φ) + 2 sin(2t+φ)]/13.

       Из выражения следует, что выходной сигнал системы также является случайным процессом и содержит те же самые случайные параметры, что и входной сигнал, а, следовательно, для него также могут быть определены статистические характеристики.

       Математическое ожидание произвольного случайного стационарного сигнала x(t) на выходе линейной системы определится выражением:

  = М{y(t)}=M{x(t-τ)}⋅h(τ) dτ =h(τ) dτ = Кпс.  (21.25)

Отсюда следует, что математическое ожидание выходных сигналов системы равно математическому ожиданию входных сигналов, умноженному на коэффициент усиления системой постоянной составляющей. Если система не пропускает постоянную составляющую сигналов (площадь или сумма коэффициентов импульсного отклика системы равна нулю), то случайный выходной сигнал всегда будет иметь нулевое математическое ожидание.

Корреляционные соотношения. Для произведения выходных сигналов y(t) и y(t+τ) линейной системы  можно записать: