Информациология. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (стр. 13 )

|⟨s, v⟩| ≤ ||s||⋅||v||.  (17.25)

Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение вычисляется по формуле:

⟨s(t), v(t)⟩ =s(t)v*(t) dt.  (17.26)

       При определении функций в пространстве L2[a, b] вычисление скалярного произведения производится соответственно с пределами интегрирования от а до b.

Из выражения (17.22) следует косинус угла между сигналами:

cos φ = ⟨s(t),v(t)⟩ /(||s||⋅||v||).  (17.27)

Пример.  Имеется два смещенных во времени прямоугольных импульса с одинаковой амплитудой и длительностью:  s1(t) = 2 при 0 ≤ t ≤ 5, s1(t) = 0 при других t; и s2(t) = 2 при 4 ≤ t ≤ 9, s2(t) = 0 при других t.

Квадраты норм сигналов:

||s1||2 = s12(t)dt = 20.  ||s2||2 = s22(t)dt = 20

Скалярное произведение: ⟨s1,s2⟩ = s1(t) s2(t) dt = 8.

       Отсюда имеем:

cos φ = (s1,s2)/ (||s1||⋅||s2||) = 8/20 = 0.4  и φ ≈ 1.16 радиан ≈ 66о

       При полном совмещении сигналов:

⟨s1,s2⟩ =s1(t) s2(t) dt = 20,  cos φ = 1,  φ = 0.

       При отсутствии перекрытия сигналов:

⟨s1,s2⟩ = 0,  cos φ = 0,  φ = 90о.

Физическое понятие "угла" между многомерными сигналами довольно абстрактно. Однако при рассмотрении выражения (17.27) совместно с выражением для квадрата метрики сигналов

ρ2(s, v) =[s(t)-v(t)]2 dt = ||s||2 + ||v||2 - 2⋅||s||⋅||v|| cos φ.

можно отметить следующие закономерности. При φ = 0 (cos φ = 1) сигналы "совпадают по направлению" и расстояние между ними минимально. При φ = π/2 (cos φ = 0) сигналы "перпендикулярны друг другу" (иначе говоря – ортогональны), и проекции сигналов друг на друга равны 0. При φ = π (cos φ = -1) сигналы "противоположны по направлению" и расстояние между сигналами максимально. Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их селекции в многоканальных системах.

Коэффициент корреляции сигналов.  Одновременно заметим, что значение косинуса в (17.27) изменяется от 1 до -1, и не зависит от нормы сигналов ("длины" векторов). Максимальное значение cosφ=1 соответствует полной тождественности относительной динамики сигналов, минимальное значение cos φ = -1 наблюдается при полной противоположности значений относительной динамики сигналов. По существу, коэффициент r = cos φ является интегральным коэффициентом степени сходства формы сигналов по пространству их задания. С учетом этого он и получил название коэффициента корреляции сигналов. На рис. 17.26 можно наглядно видеть значения коэффициента корреляции двух сигналов в зависимости от их формы и сдвига по независимой переменной.

Рис. 17.26. Коэффициент корреляции сигналов.

       Однако количественные значения коэффициентов корреляции существенно зависят от выбора нулевой точки сигнального пространства. Рассмотрим это более детально на конкретном примере.

       На рис. 17.27 приведено изменение средней месячной температуры воздуха в трех городах земного шара в течение одного календарного года.

Рис. 17.27.

Характер корреляции между изменениями температур в городах достаточно хорошо виден на графиках. Вычислим (см. пример ниже) значения  коэффициентов корреляции для шкалы температур по Цельсию.

Пример.  Среднемесячная температура воздуха в городах по Цельсию:

Екатеринбург:  Ek = {-12,-10,-4,5,11,19,23,21,15,5,-3,-8}.  Дели:  Dk = {15,18,22,28,33,35,33,32,30,28,21,17}.

Буэнос-Айрес:  Bk = {26,24,21,18,14,11,10,10,12,15,20,23}.  Нумерация месяцев:  k = 1, 2, 3, …, 12.

Норма сигналов:

||E|| = = 45.39,  ||D|| = = 93.05,

||B|| = = 61.9.

Скалярные произведения: 

⟨E, D⟩ = = 2542,  ⟨E, B⟩ = 268,  ⟨B, D⟩ = 4876.

Коэффициенты корреляции: 

Екатеринбург – Дели: 

rED = ⟨E, D⟩ / (||E|| ||D||) = 0.602.

Екатеринбург – Буэнос-Айрес:

rEB = 0.095,

Дели – Буэнос-Айрес:

rDB = 0.847,

Как следует из вычислений, полученные коэффициенты корреляции маловыразительны. Практически не регистрируется разнонаправленная корреляция Екатеринбург - Буэнос-Айрес, и не различаются одно - (Екатеринбург – Дели) и разнонаправленные (Дели – Буэнос-Айрес) типы корреляции.

Повторим вычисления в шкале Фаренгейта (0оF = -17,8oC,  100oF = +37,8oC), и в абсолютной шкале температур Кельвина. Дополнительно вычислим значения коэффициентов корреляции в шкале Цельсия и Фаренгейта для центрированных сигналов. Центрированный сигнал вычисляется путем определения среднего значения сигнала по интервалу его задания и вычитания этого среднего значения из исходных значений сигнала, т. е. среднее значение центрированного сигнала равно нулю. Сводные результаты вычислений приведены в таблице.

Таблица 17.1.

Коэффициенты корреляции сигналов

Пары городов	Нецентрированные сигналы	Центрированные сигналы
Цельсий	Фаренгейт	Кельвин	Цельсий	Фаренгейт
Екатеринбург – Дели Екатеринбург – Буэнос-Айрес Дели – Буэнос-Айрес	0.602 0.095 0.847	0.943 0.803 0.953	1 0.998 0.999	0.954 -0.988 -0.960	0.954 -0.988 -0.960

Как видно из таблицы, значения коэффициента корреляции нецентрированных сигналов существенно зависят от положения сигналов относительно нулевой точки пространства. При одностороннем смещении сигналов относительно нуля (шкала Фаренгейта) значение коэффициента корреляции может быть только положительным, и тем ближе к 1, чем дальше от сигналов нулевая точка (шкала Кельвина), т. к. при больших значениях сигналов-векторов значение скалярного произведения сигналов стремится к значению произведения норм сигналов.

Для получения значений коэффициентов корреляции, независимых от нуля сигнального пространства и от масштаба единиц измерений, необходимо вычислять коэффициент по центрированным сигналам, при этом в оценках коэффициента, как это видно из результатов, приведенных в таблице, появляется знаковый параметр совпадения (или несовпадения) по "направлению" корреляции и исчезает зависимость от масштаба представления сигналов. Это позволяет вычислять коэффициенты корреляции различных сигналов вне зависимости от физической природы сигналов и их величины.

Координатный базис пространства.  Для измерения и отображения одномерных величин достаточно одного нормированного параметра – стандарта величины или единицы ее измерения (для измерения длины – сантиметр, для измерения тока – ампер, и т. п.).

В пространстве сигналов роль такого метрологического стандарта выполняет координатный базис пространства - подмножество векторов {е1, е2, е3, …} со свойствами ортогональных координатных осей с определенной единицей измерений, по которым можно разложить любой произвольный сигнал, принадлежащий этому линейному пространству.

       Число базисных векторов определяет размерность векторного пространства. Так, для двумерных векторов в качестве ортогонального базиса пространства могут быть приняты векторы {v1, v2}, если выполняется условие их взаимной перпендикулярности – нулевое значение скалярного произведения ⟨v1, v2⟩ = 0. При ||v1|| = ||v2|| = 1 эта пара векторов является ортонормированным базисом с единичными векторами координатных осей в качестве стандарта (единицы измерения) пространства.

  Пример. Могут ли быть приняты в качестве координатного базиса двумерного пространства векторы

  v1 = (/2, 1/2),  v2 = (-1/2, /2).

  ⟨v1, v2⟩ = (/2)·(-1/2) + (1/2)·(/2) = 0. 

Векторы ортогональны.

  ||v1|| = = 1. 

||v2|| = = 1. 

Векторы нормированы. 

Векторы могут быть ортонормированным базисом пространства.

       Разложение произвольного двумерного вектора - сигнала s в двумерном пространстве, по координатным осям v1 и v2 элементарно:

s = c1v1 + c2v2,  (17.28)

где коэффициенты с1 и с2 выражают значения составляющих вектора s по направлениям векторов v1 и v2, т. е. являются проекциями вектора s на координатный базис пространства {v1, v2}. Значения проекций определяются скалярными произведениями: